1 已知△ ACB 、△ CEF 都为等腰直角三角形,点 E 、 F 在 AC,BC 上,∠ ACB=90 0 ,连 BE,AF,点 M 、 N分别为AF、BE的中点.(1)如图1,求证:AE=2MN; (2)将△CEF绕点C顺时针旋转一个锐角,则(1)中的结论
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 22:52:02
![1 已知△ ACB 、△ CEF 都为等腰直角三角形,点 E 、 F 在 AC,BC 上,∠ ACB=90 0 ,连 BE,AF,点 M 、 N分别为AF、BE的中点.(1)如图1,求证:AE=2MN; (2)将△CEF绕点C顺时针旋转一个锐角,则(1)中的结论](/uploads/image/z/2616674-50-4.jpg?t=1+%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E2%96%B3+ACB+%E3%80%81%E2%96%B3+CEF+%E9%83%BD%E4%B8%BA%E7%AD%89%E8%85%B0%E7%9B%B4%E8%A7%92%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%2C%E7%82%B9+E+%E3%80%81+F+%E5%9C%A8+AC%2CBC+%E4%B8%8A%2C%E2%88%A0+ACB%3D90+0+%2C%E8%BF%9E+BE%2CAF%2C%E7%82%B9+M+%E3%80%81+N%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BAAF%E3%80%81BE%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9.%EF%BC%881%EF%BC%89%E5%A6%82%E5%9B%BE1%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9AAE%3D2MN%EF%BC%9B++%EF%BC%882%EF%BC%89%E5%B0%86%E2%96%B3CEF%E7%BB%95%E7%82%B9C%E9%A1%BA%E6%97%B6%E9%92%88%E6%97%8B%E8%BD%AC%E4%B8%80%E4%B8%AA%E9%94%90%E8%A7%92%2C%E5%88%99%EF%BC%881%EF%BC%89%E4%B8%AD%E7%9A%84%E7%BB%93%E8%AE%BA)
1 已知△ ACB 、△ CEF 都为等腰直角三角形,点 E 、 F 在 AC,BC 上,∠ ACB=90 0 ,连 BE,AF,点 M 、 N分别为AF、BE的中点.(1)如图1,求证:AE=2MN; (2)将△CEF绕点C顺时针旋转一个锐角,则(1)中的结论
1 已知△ ACB 、△ CEF 都为等腰直角三角形,点 E 、 F 在 AC,BC 上,∠ ACB=90 0 ,连 BE,AF,点 M 、 N
分别为AF、BE的中点.(1)如图1,求证:AE=2MN; (2)将△CEF绕点C顺时针旋转一个锐角,则(1)中的结论是否成立?试证明你的结论.
1 已知△ ACB 、△ CEF 都为等腰直角三角形,点 E 、 F 在 AC,BC 上,∠ ACB=90 0 ,连 BE,AF,点 M 、 N分别为AF、BE的中点.(1)如图1,求证:AE=2MN; (2)将△CEF绕点C顺时针旋转一个锐角,则(1)中的结论
需要求证的结论是:AE=√2MN.该结论在(1)、(2)中都是成立的!证明如下:
(1)
取EF的中点为D.
∵M、D分别是AF、EF的中点,∴MD是△AEF的中位线,∴MD∥AC、MD=(1/2)AE.
∵N、D分别是BE、EF的中点,∴ND是△BEF的中位线,∴ND∥BC、ND=(1/2)BF.
由MD∥AC、ND∥BC、AC⊥BC,得:MD⊥ND.
由AC=BC、EC=FC,得:AE=BF,又MD=(1/2)AE、ND=(1/2)BF,∴MD=ND.
由MD⊥ND、MD=ND,得:MD=(√2/2)MN,而MD=(1/2)AE,∴AE=√2MN.
(2)
取EF的中点为G.
∵∠ACE=∠ACB-∠BCE=90°-∠BCE=∠ECF-∠BCE=∠BCF,AC=BC、EC=FC,
∴△ACE≌△BCF,∴AE=BF.
∵M、G分别是AF、EF的中点,∴MG是△AEF的中位线,∴MG∥AE、MG=(1/2)AE.
∵N、G分别是BE、EF的中点,∴NG是△BEF的中位线,∴NG∥BF、NG=(1/2)BF.
由AE=BF、MG=(1/2)AE、NG=(1/2)BF,得:MG=NG.
在△ACE和△BCF中,∵AC⊥BC、EC⊥FC,∴AE⊥BF,又MG∥AE、NG∥BF,∴MG⊥NG.
由MG=NG、MG⊥NG,得:MG=(√2/2)MN,而MG=(1/2)AE,∴AE=√2MN.