急求三角形证明题 三角形ABC是正三角形三角形A1B1C1的三条边A1B1,B1C1,A1C1交三角形ABC各边分别于C2,C3,A2,A3,B2,B3,已知A2C3=C2B3=B2A3且C2C3平方+B2B3平方=A2A3平方,求证:A1B1垂直C1A1
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 02:18:14
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急求三角形证明题 三角形ABC是正三角形三角形A1B1C1的三条边A1B1,B1C1,A1C1交三角形ABC各边分别于C2,C3,A2,A3,B2,B3,已知A2C3=C2B3=B2A3且C2C3平方+B2B3平方=A2A3平方,求证:A1B1垂直C1A1
急求三角形证明题
三角形ABC是正三角形三角形A1B1C1的三条边A1B1,B1C1,A1C1交三角形ABC各边分别于C2,C3,A2,A3,B2,B3,已知A2C3=C2B3=B2A3且C2C3平方+B2B3平方=A2A3平方,求证:A1B1垂直C1A1
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证明:如图,过A2作C3C2的平行线交过C2所作C3A2的平行线于点O,连接OA3、0B3,
∴A2OC2C3是平行四边形,
∴A2O∥C3C2,且A2O=C3C2,OC2∥A2C3且OC2=A2C3=B3C2,
∴△OB3C2是正三角形,
∴∠OB3C2=60°=∠B,
∴OB3∥A3B2,
又∵0B3=B3C2=A3B2,
∴OB3B2A3是平行四边形,
∴OA3∥B3B2且OA3=B3B2,
∵C2C32+B2B32=A2A32,
∴OA22+OA32=A2A32,
在△A2OA3中,
∵OA22+OA32=A2A32,
∴由勾股定理的逆定理得∠A2OA3=90°,
∵已证OA3∥B3B2,即OA3∥A1C1,A2O∥C3C2,即A2O∥B1A1,
∴∠C1A1B1=90°,
∴A1B1⊥C1A1.