如图,以平行四边形ABCD的边AB,CD为边向外作等边三角形ABE和等边三角形CDF,AC与EF相较于点O,证明OE=OF
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 03:06:07
![如图,以平行四边形ABCD的边AB,CD为边向外作等边三角形ABE和等边三角形CDF,AC与EF相较于点O,证明OE=OF](/uploads/image/z/8892827-35-7.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E4%BB%A5%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2ABCD%E7%9A%84%E8%BE%B9AB%2CCD%E4%B8%BA%E8%BE%B9%E5%90%91%E5%A4%96%E4%BD%9C%E7%AD%89%E8%BE%B9%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABE%E5%92%8C%E7%AD%89%E8%BE%B9%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2CDF%2CAC%E4%B8%8EEF%E7%9B%B8%E8%BE%83%E4%BA%8E%E7%82%B9O%2C%E8%AF%81%E6%98%8EOE%3DOF)
如图,以平行四边形ABCD的边AB,CD为边向外作等边三角形ABE和等边三角形CDF,AC与EF相较于点O,证明OE=OF
如图,以平行四边形ABCD的边AB,CD为边向外作等边三角形ABE和等边三角形CDF,AC与EF相较于点O,证明OE=OF
如图,以平行四边形ABCD的边AB,CD为边向外作等边三角形ABE和等边三角形CDF,AC与EF相较于点O,证明OE=OF
∵ABCD是平行四边形,∴DC=BA、AD=CB、∠ADC=∠CBA.
∵△CDF、△ABE是等边三角形,∴DC=DF、BA=BE、∠CDF=∠ABE=60°.
由∠ADC=∠CBA、∠CDF=∠ABE,得:∠ADC+∠CDF=∠CBA+∠ABE,
∴∠ADF=∠CBE.
由DC=BA、DC=DF、BA=BE,得:DF=BE,又AD=CB、∠ADF=∠CBE,
∴△ADF≌△CBE,∴AF=CE.
∵△CDF、△ABE是等边三角形,∴DC=CF、BA=AE,又DC=BA,∴CF=AE.
由AF=CE、CF=AE,得:AFCE是平行四边形,∴OE=OF.
平行四边形ABCD的对角线AC的中点G是它的对称中心,把平行四边形ABCD绕G旋转180°,AB←→CD,△ABE←→△CDF,
∴E←→F,
∴E,G,F三点共线,
∴G与O重合,
∴OE=OF.
证明:∵平ABCD行四边形
∴AD=BC, ① AB=CD ②
∵ABE和CDF是等边三角形
∴CD=CF=DF, ③ AB=AE=BE ④
由①②④得 AE=FC ⑤ DF=BE ⑥
由①+⑥得 AD+DF=BC+BE 则AF=EC ⑦
由⑤⑦得 四边形AEC是平行四边形
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证明:∵平ABCD行四边形
∴AD=BC, ① AB=CD ②
∵ABE和CDF是等边三角形
∴CD=CF=DF, ③ AB=AE=BE ④
由①②④得 AE=FC ⑤ DF=BE ⑥
由①+⑥得 AD+DF=BC+BE 则AF=EC ⑦
由⑤⑦得 四边形AEC是平行四边形
∴OE=OF(平行四边形对角线互相平分)
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