请问 logdet(I + x*A) 关于 x 的导数表达式I 是 M*M 的单位矩阵,A 是 M*M的正定矩阵.x 是一个 变量.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 12:17:53
![请问 logdet(I + x*A) 关于 x 的导数表达式I 是 M*M 的单位矩阵,A 是 M*M的正定矩阵.x 是一个 变量.](/uploads/image/z/8749301-5-1.jpg?t=%E8%AF%B7%E9%97%AE+logdet%28I+%2B+x%2AA%29+%E5%85%B3%E4%BA%8E+x+%E7%9A%84%E5%AF%BC%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%BE%BE%E5%BC%8FI+%E6%98%AF+M%EF%BC%8AM+%E7%9A%84%E5%8D%95%E4%BD%8D%E7%9F%A9%E9%98%B5%2CA+%E6%98%AF+M%EF%BC%8AM%E7%9A%84%E6%AD%A3%E5%AE%9A%E7%9F%A9%E9%98%B5.x+%E6%98%AF%E4%B8%80%E4%B8%AA+%E5%8F%98%E9%87%8F.)
请问 logdet(I + x*A) 关于 x 的导数表达式I 是 M*M 的单位矩阵,A 是 M*M的正定矩阵.x 是一个 变量.
请问 logdet(I + x*A) 关于 x 的导数表达式
I 是 M*M 的单位矩阵,A 是 M*M的正定矩阵.x 是一个 变量.
请问 logdet(I + x*A) 关于 x 的导数表达式I 是 M*M 的单位矩阵,A 是 M*M的正定矩阵.x 是一个 变量.
由A是m阶正定矩阵,A的m个特征值都是正实数,设为λ1,λ2,...,λm.
通过相似对角化,不难证明:I
1) I+xA的特征值为1+λ1·x,1+λ2·x,...,1+λm·x;
2) A(I+xA)^(-1)的特征值为λ1/(1+λ1·x),λ2/(1+λ2·x),...,λm/(1+λm·x).
故det(I+xA) = (1+λ1·x)(1+λ2·x)...(1+λm·x),
而tr(A(I+xA)^(-1)) = λ1/(1+λ1·x)+λ2/(1+λ2·x)+...+λm/(1+λm·x).
于是(ln(det(I+xA)))' = (ln((1+λ1·x)(1+λ2·x)...(1+λm·x)))'
= (ln(1+λ1·x))'+(ln(1+λ2·x))'+...+(ln(1+λm·x))'
= λ1/(1+λ1·x)+λ2/(1+λ2·x)+...+λm/(1+λm·x)
= tr(A(I+xA)^(-1)).
结果还可以变形,比如:
tr(A(I+xA)^(-1))
= tr(xA(I+xA)^(-1))/x
= (tr((I+xA)(I+xA)^(-1))-tr((I+xA)^(-1)))/x
= (m-tr((I+xA)^(-1)))/x.
再比如用伴随矩阵表示逆矩阵:(I+xA)^(-1) = (1+xA)*/det(I+xA).
具体看你的需要了.