已知△ABC的一个顶点为抛物线y^2=2x的顶点O,A、B两点都在抛物线上,且∠AOB=90°(1)证明:直线AB必过一定点(2)求△AOB面积的最小值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 05:31:42
![已知△ABC的一个顶点为抛物线y^2=2x的顶点O,A、B两点都在抛物线上,且∠AOB=90°(1)证明:直线AB必过一定点(2)求△AOB面积的最小值](/uploads/image/z/8652772-28-2.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E2%96%B3ABC%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E9%A1%B6%E7%82%B9%E4%B8%BA%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BFy%5E2%3D2x%E7%9A%84%E9%A1%B6%E7%82%B9O%2CA%E3%80%81B%E4%B8%A4%E7%82%B9%E9%83%BD%E5%9C%A8%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BF%E4%B8%8A%2C%E4%B8%94%E2%88%A0AOB%3D90%C2%B0%EF%BC%881%EF%BC%89%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9A%E7%9B%B4%E7%BA%BFAB%E5%BF%85%E8%BF%87%E4%B8%80%E5%AE%9A%E7%82%B9%EF%BC%882%EF%BC%89%E6%B1%82%E2%96%B3AOB%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC)
已知△ABC的一个顶点为抛物线y^2=2x的顶点O,A、B两点都在抛物线上,且∠AOB=90°(1)证明:直线AB必过一定点(2)求△AOB面积的最小值
已知△ABC的一个顶点为抛物线y^2=2x的顶点O,A、B两点都在抛物线上,且∠AOB=90°
(1)证明:直线AB必过一定点
(2)求△AOB面积的最小值
已知△ABC的一个顶点为抛物线y^2=2x的顶点O,A、B两点都在抛物线上,且∠AOB=90°(1)证明:直线AB必过一定点(2)求△AOB面积的最小值
(1)证明:
对抛物线上任意不和O点重合的一点A(Xa,Ya),设满足题意的B点为B(Xb,Yb),则有:
Ya^2=2Xa; (1)
Yb^2=2Xb; (2)
Ya/Xa*Yb/Xb=-1 (AO⊥BO) (3)
(1)*(2),再将(3)代入:YaYb=-4
(1)-(2),可得AB的斜率=(Yb-Ya)/(Xb-Xa)=2/(Ya+Yb)
所以直线AB的方程为 (y-Ya)=2/(Ya+Yb)*(x-Xa)
(Ya+Yb)y-Ya^2-YaYb=2x-2Xa
所以(Ya+Yb)y=2x-4
即AB的方程为y=2/(Ya+Yb)*(x-2)
故直线AB恒过(2,0)点.
(2)设(2,0)点为D,则三角形AOB被OD分为同底(底长OD=2)的两个三角形AOD和BOD,它们的高分别为|Ya|和|Yb|.
S△AOB=1/2*2(|Ya|+|Yb|)≥2√(|Ya||Yb|)=2√|-4|=4,(当|Ya|=|Yb|时取等号)
所以△AOB面积的最小值=4