已知函数满足对任意实数xy有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x大于0时,f(x)大于0,证:f(x)在R上是减函数对回答问题的朋友表示抱歉,题目打错了:“且当x大于0时,f(x)小于0”。
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 14:40:19
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已知函数满足对任意实数xy有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x大于0时,f(x)大于0,证:f(x)在R上是减函数对回答问题的朋友表示抱歉,题目打错了:“且当x大于0时,f(x)小于0”。
已知函数满足对任意实数xy有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x大于0时,f(x)大于0,证:f(x)在R上是减函数
对回答问题的朋友表示抱歉,题目打错了:“且当x大于0时,f(x)小于0”。
已知函数满足对任意实数xy有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x大于0时,f(x)大于0,证:f(x)在R上是减函数对回答问题的朋友表示抱歉,题目打错了:“且当x大于0时,f(x)小于0”。
f(x+y)-f(x)=f(y)
令a=x+y,则y=a-x
所以f(a)-f(x)=f(a-x)
令x1>x2
则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)
x1>x2则x1-x2>0
x>0,f(x)>0
所以f(x1-x2)>0
即x1>x2时,f(x1)>f(x2)
所以是增函数,不是减函数
两个字就可以证:“显然”
开玩笑,给你证一下:
R上任取两点x1
因为f(x2)=f(x1+x2-x1)=f(x1)+f(x2-x1)
所以,f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0
由x1、x2的任意性,知f(x)在R上单调递减,证毕。
题目错了吧……是证明f(x)是奇函数吧?
设x1
由题得f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)
所以f(x1)-f(x2)=f(x1)-【f(x2-x1)+f(x1)】
即:f(x1)-f(x2)=-f(x2-x1)
因为x2-x1>0,所以f(x2-x1)<0
即:f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2)
由减函数定义得,f(x)在R上是减函数。
证明:因为函数满足任意实数xy有f(x+y)=f(x)+f(y)成立 所以此函数为对数函数为㏒ax(以x为底的a的对数)
由对数函数定义可知1>x>0,1>a>0时f(x)>0
又由函数的性质知1>a>0时函数为减函数
所以当1>a>0是f(x)在R上是减函数