命题 高中选修2—1数学命题类?已知a∈R,给出下面两个命题:命题p“在x∈[1,2]内,不等式x²+2ax-2﹥0恒成立”;命题q“f(x)=x²-4ax﹢4a²﹢2在区间内[-1,3]上的最小值等于2”.若p∧
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 00:38:35
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命题 高中选修2—1数学命题类?已知a∈R,给出下面两个命题:命题p“在x∈[1,2]内,不等式x²+2ax-2﹥0恒成立”;命题q“f(x)=x²-4ax﹢4a²﹢2在区间内[-1,3]上的最小值等于2”.若p∧
命题 高中选修2—1数学命题类?
已知a∈R,给出下面两个命题:命题p“在x∈[1,2]内,不等式x²+2ax-2﹥0恒成立”;命题q“f(x)=x²-4ax﹢4a²﹢2在区间内[-1,3]上的最小值等于2”.若p∧q为真,求参数a的取值范围.
命题 高中选修2—1数学命题类?已知a∈R,给出下面两个命题:命题p“在x∈[1,2]内,不等式x²+2ax-2﹥0恒成立”;命题q“f(x)=x²-4ax﹢4a²﹢2在区间内[-1,3]上的最小值等于2”.若p∧
p∧q为真,也就说,p,q都是真.
对命题P.在x∈[1,2]内,不等式x²+2ax-2﹥0恒成立
分析参数法(在恒成立中常常用到)
x²+2ax-2﹥0,
2ax﹥2-x²
∵x∈[1,2]
a﹥1/x-x/2
所以只要a﹥1/x-x/2在x∈[1,2]恒成立,即a﹥(1/x-x/2)max即可
设g(x)=1/x-x/2,由于g(x)在x∈[1,2]上是减函数.
g(x)max=g(1)=1-1/2=1/2.
所以a﹥1/2.
对命题q.f(x)=x²-4ax﹢4a²﹢2在区间内[-1,3]上的最小值等于2
二次函数的最值,就只能在2个端点和对称轴上取到.
所以(1)当f(-1)=2时,1+4a+4a²﹢2=2,a=-1/2.
此时f(x)=x²+2x﹢3=(x+1)²+2,满足最小值为2,所以a=-1/2
(2)当f(3)=2时,9-12a+4a²﹢2=2,a=3/2.
此时f(x)=x²-6x﹢11=(x-3)²+2,满足最小值为2,所以a=3/2
(3)当f(2a)=2时,4a²-8a²+4a²﹢2=2,0=0,即.a∈R,
此时必须满足2a∈[1,2],即a∈[1/2,1]
综上命题q为真时,a∈[1/2,1]∪{3/2}
所以p∧q为真时,a∈(1/2,1]∪{3/2}