数学截长补短专题正方形ABCD中,点E在BC边上移动,角EAF=45度,AF交CD于F,连接EF.求证:BE+DF=EF
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 03:50:07
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数学截长补短专题正方形ABCD中,点E在BC边上移动,角EAF=45度,AF交CD于F,连接EF.求证:BE+DF=EF
数学截长补短专题
正方形ABCD中,点E在BC边上移动,角EAF=45度,AF交CD于F,连接EF.求证:BE+DF=EF
数学截长补短专题正方形ABCD中,点E在BC边上移动,角EAF=45度,AF交CD于F,连接EF.求证:BE+DF=EF
证明:延长CB到G,使得BG=DF.
在正方形ABCD中
1,证明:RT⊿ADF≌RT⊿ABG,DF=BG
∵∠D=∠ABC=90°(正方形的内角等于90度),∠ABC+∠ABG=180°(平角为180度)
∴∠D=∠ABG=90°(等量公理)
∵AD=AB(正方形的边长相等),DF=BG(所做)
∴RT⊿ADF≌RT⊿ABG(两角夹边相等,两三角形全等)
∴AF=AG,∠DAF=∠BAG(全等三角形的对应边,对应角相等)
2,证明:∠EAF=∠EAG=45°
∵AD=AC(正方形的边长相等)
∴∠DAC=∠DAF+∠FAC=90°/2=45°(直角三角形的锐角和为90度,三角形的等边对等角)
∵∠EAF=∠EAC+∠FAC=45°(已知)
∴∠DAF=∠EAC=∠BAG(等量公理)
同理可证:∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°
∴∠EAG=∠BAE+∠BAG=45°(等量公理)
∴∠EAF=∠EAG=45°
3,证明:⊿EAF≌⊿EAG,EF=BE+BG=BE+DF
∵AE是公用边
∴⊿EAF≌⊿EAG(两边夹角相等,两三角形全等)
∴EF=EG=BE+BG=BE+DF(全等三角形对应边相等)
1)过点A在正方形的外部作角BAM=角DAF,交CB的延长线于点M,易证三角形ADF全等于三角形ABM,则DF=MB,再根据“边角边”易证三角形AEF全等于三角形AEM,所以EF=BE+BM=DF+BE