将正方形ABCD绕中心O顺时针旋转角α得到正方形A1B1C1D1.如图1所示.(1)当α=45°时,如图2,若线段OA与边A1D1的交点为E.线段OA1与AB的交点为F.可得下列结论成立:1.△EOP全等△FOP 2.PA=PA1 .试选一个证
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 12:50:38
![将正方形ABCD绕中心O顺时针旋转角α得到正方形A1B1C1D1.如图1所示.(1)当α=45°时,如图2,若线段OA与边A1D1的交点为E.线段OA1与AB的交点为F.可得下列结论成立:1.△EOP全等△FOP 2.PA=PA1 .试选一个证](/uploads/image/z/6897305-65-5.jpg?t=%E5%B0%86%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2ABCD%E7%BB%95%E4%B8%AD%E5%BF%83O%E9%A1%BA%E6%97%B6%E9%92%88%E6%97%8B%E8%BD%AC%E8%A7%92%CE%B1%E5%BE%97%E5%88%B0%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2A1B1C1D1.%E5%A6%82%E5%9B%BE1%E6%89%80%E7%A4%BA.%EF%BC%881%EF%BC%89%E5%BD%93%CE%B1%3D45%C2%B0%E6%97%B6%2C%E5%A6%82%E5%9B%BE2%2C%E8%8B%A5%E7%BA%BF%E6%AE%B5OA%E4%B8%8E%E8%BE%B9A1D1%E7%9A%84%E4%BA%A4%E7%82%B9%E4%B8%BAE.%E7%BA%BF%E6%AE%B5OA1%E4%B8%8EAB%E7%9A%84%E4%BA%A4%E7%82%B9%E4%B8%BAF.%E5%8F%AF%E5%BE%97%E4%B8%8B%E5%88%97%E7%BB%93%E8%AE%BA%E6%88%90%E7%AB%8B%EF%BC%9A1.%E2%96%B3EOP%E5%85%A8%E7%AD%89%E2%96%B3FOP+2.PA%3DPA1+.%E8%AF%95%E9%80%89%E4%B8%80%E4%B8%AA%E8%AF%81)
将正方形ABCD绕中心O顺时针旋转角α得到正方形A1B1C1D1.如图1所示.(1)当α=45°时,如图2,若线段OA与边A1D1的交点为E.线段OA1与AB的交点为F.可得下列结论成立:1.△EOP全等△FOP 2.PA=PA1 .试选一个证
将正方形ABCD绕中心O顺时针旋转角α得到正方形A1B1C1D1.如图1所示.
(1)当α=45°时,如图2,若线段OA与边A1D1的交点为E.线段OA1与AB的交点为F.可得下列结论成立:1.△EOP全等△FOP 2.PA=PA1 .试选一个证明、
(2)当0°>α>90°时,第(1)小题中的结论PA=PA1还成立吗?理由
(3)在旋转过程中,记正方形A1B1C1D1与AB边交于P,Q两点,探究∠POQ的度数是否改变?如果变化,请描述它与α之间的关系,如果不变,请直接写出∠POQ的度数
将正方形ABCD绕中心O顺时针旋转角α得到正方形A1B1C1D1.如图1所示.(1)当α=45°时,如图2,若线段OA与边A1D1的交点为E.线段OA1与AB的交点为F.可得下列结论成立:1.△EOP全等△FOP 2.PA=PA1 .试选一个证
考点:旋转的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质.
专题:综合题;探究型.
分析:(1)①根据旋转的性质可得:∠AOA1=45°,即可证明∠PFO=90°,则OE=OF,即可根据HL公理证明两三角形全等;
②先证明△EOP≌△FOP,再证明∴△APO≌△A1PO,即可证得;
(2)作OE⊥A1D1,OF⊥AB,垂足分别为E,F,首先△EOP≌△FOP证得∠APO=∠A1PO,即可证明△APO≌△A1PO,从而结论得证;
(3)根据(1)(2)的解题过程中∠POQ的大小不变,即可确定.
(1)若证明①△EOP≌△FOP
当α=45°时,即∠AOA1=45°,又∠PAO=45°
∴∠PFO=90°,同理∠PEO=90°
∴$EO=FO=\frac{AB}{2}$
在Rt△EOP和Rt△FOP中,有$\left\{{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{OP=OP}\end{array}}\right.$
∴△EOP≌△FOP
若证明②PA=PA1
法一证明:连接AA1,则∵O是两个正方形的中心,∴OA=OA1∠PA1O=∠PAO=45°
∴∠AA1O=∠A1AO
∴∠AA1O-∠PA1O=∠A1AO-∠PAO
即∠AA1P=∠A1AP∴PA=PA1
法二:证明,同①先证明△EOP≌△FOP
得∠EPO=∠FPO
∵∠APE=∠A1PF∴∠APE+∠EPO=∠A1PF+∠FPO即∠APO=∠A1PO(2分)
在△APO和△A1PO中有$\left\{{\begin{array}{l}{OP=OP}\\{∠APO=∠{A_1}PO}\\{∠PAO=∠P{A_1}O={{45}°}}\end{array}}\right.$
∴△APO≌△A1PO
∴PA=PA1
(2)成立
证明如下:法一证明:连接AA1,则∵O是两个正方形的中心,∴OA=OA1∠PA1O=∠PAO=45°
∴∠AA1O=∠A1AO
∴∠AA1O-∠PA1O=∠A1AO-∠PAO
即∠AA1P=∠A1AP∴PA=PA1
法二
如图,作OE⊥A1D1,OF⊥AB,垂足分别为E,F
则OE=OF,∠PFO=90°,∠PEO=90°
在Rt△EOP和Rt△FOP中,有$\left\{{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{OP=OP}\end{array}}\right.$
∴△EOP≌△FOP∠EPO=∠FPO
∵∠APE=∠A1PF∴∠APE+∠EPO=∠A1PF+∠FPO即∠APO=∠A1PO
在△APO和△A1PO中有
$\left\{\begin{array}{l}{op=op}\\{∠APO=∠{A}_{1}}\end{array}\right.PO,∠PAO=∠P{A}_{1}O=45°$
∴△APO≌△A1PO
∴PA=PA1
(3)在旋转过程中,∠POQ的度数不发生变化,∠POQ=45°