任意三角形其三边分别为a、b、c,求证其面积S=根号下(p(p-a)(p-b)(p-c))注:p为三角形的半周长,即p=(a+b+c)/2.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 23:56:16
![任意三角形其三边分别为a、b、c,求证其面积S=根号下(p(p-a)(p-b)(p-c))注:p为三角形的半周长,即p=(a+b+c)/2.](/uploads/image/z/6832115-35-5.jpg?t=%E4%BB%BB%E6%84%8F%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E5%85%B6%E4%B8%89%E8%BE%B9%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BAa%E3%80%81b%E3%80%81c%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%E5%85%B6%E9%9D%A2%E7%A7%AFS%3D%E6%A0%B9%E5%8F%B7%E4%B8%8B%EF%BC%88p%EF%BC%88p-a%EF%BC%89%EF%BC%88p-b%EF%BC%89%EF%BC%88p-c%EF%BC%89%EF%BC%89%E6%B3%A8%EF%BC%9Ap%E4%B8%BA%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E7%9A%84%E5%8D%8A%E5%91%A8%E9%95%BF%2C%E5%8D%B3p%3D%EF%BC%88a%2Bb%2Bc%EF%BC%89%2F2.)
任意三角形其三边分别为a、b、c,求证其面积S=根号下(p(p-a)(p-b)(p-c))注:p为三角形的半周长,即p=(a+b+c)/2.
任意三角形其三边分别为a、b、c,求证其面积S=根号下(p(p-a)(p-b)(p-c))
注:p为三角形的半周长,即p=(a+b+c)/2.
任意三角形其三边分别为a、b、c,求证其面积S=根号下(p(p-a)(p-b)(p-c))注:p为三角形的半周长,即p=(a+b+c)/2.
这个公式又被称做海伦公式.不怕麻烦就证明吧.
海伦公式又译希伦公式,传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积.但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发表.
假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得:
S=sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
而公式里的s:
s=frac{a+b+c}
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式.比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案.
[编辑]证明
与海伦在他的着作"Metrica"中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明.设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则馀弦定理为
cos(C) = frac{a^2+b^2-c^2}
从而有
sin(C) = sqrt{1-cos^2(C)} = frac{ sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} }
因此三角形的面积S为
S = fracab sin(C)
= fracsqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2}
= sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
最后的等号部分可用因式分解予以导出.
海伦公式。。
证明的话
S= (1/2)absinC= (1/2)ab*根号下[1- (cosC)^2]
而cosC= (a^2+b^2-c^2)/2ab,带入上式再变形就可以了
余玄定理 cosC= (a^2+b^2-c^2)/2ab
S三角形= (1/2)absinC
SIN^2C+COS^2C=1
就可以推倒了