2010全国初中数学联赛最后一道若m为正整数,是否存在使得关于x的函数y=x+根号下(100-mx)的最大值为整数,若存在求出m,若不存在说明理由当时我做的时候,我用的是算2个数的方差带出y的最大值,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 14:45:19
![2010全国初中数学联赛最后一道若m为正整数,是否存在使得关于x的函数y=x+根号下(100-mx)的最大值为整数,若存在求出m,若不存在说明理由当时我做的时候,我用的是算2个数的方差带出y的最大值,](/uploads/image/z/6828329-65-9.jpg?t=2010%E5%85%A8%E5%9B%BD%E5%88%9D%E4%B8%AD%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%81%94%E8%B5%9B%E6%9C%80%E5%90%8E%E4%B8%80%E9%81%93%E8%8B%A5m%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0%2C%E6%98%AF%E5%90%A6%E5%AD%98%E5%9C%A8%E4%BD%BF%E5%BE%97%E5%85%B3%E4%BA%8Ex%E7%9A%84%E5%87%BD%E6%95%B0y%3Dx%2B%E6%A0%B9%E5%8F%B7%E4%B8%8B%EF%BC%88100-mx%29%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC%E4%B8%BA%E6%95%B4%E6%95%B0%2C%E8%8B%A5%E5%AD%98%E5%9C%A8%E6%B1%82%E5%87%BAm%2C%E8%8B%A5%E4%B8%8D%E5%AD%98%E5%9C%A8%E8%AF%B4%E6%98%8E%E7%90%86%E7%94%B1%E5%BD%93%E6%97%B6%E6%88%91%E5%81%9A%E7%9A%84%E6%97%B6%E5%80%99%2C%E6%88%91%E7%94%A8%E7%9A%84%E6%98%AF%E7%AE%972%E4%B8%AA%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%96%B9%E5%B7%AE%E5%B8%A6%E5%87%BAy%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC%2C)
2010全国初中数学联赛最后一道若m为正整数,是否存在使得关于x的函数y=x+根号下(100-mx)的最大值为整数,若存在求出m,若不存在说明理由当时我做的时候,我用的是算2个数的方差带出y的最大值,
2010全国初中数学联赛最后一道
若m为正整数,是否存在使得关于x的函数y=x+根号下(100-mx)的最大值为整数,若存在求出m,若不存在说明理由
当时我做的时候,我用的是算2个数的方差带出y的最大值,但是最后结果一个m都没有求出来,
1楼的那个是怎么变来的哦 我觉得你没对啊
是y=x+根号下(100-mx)的最大值,变不过来啊
还有我是用方差来表示最大值的
2010全国初中数学联赛最后一道若m为正整数,是否存在使得关于x的函数y=x+根号下(100-mx)的最大值为整数,若存在求出m,若不存在说明理由当时我做的时候,我用的是算2个数的方差带出y的最大值,
y=x+√(100-mx)
=-(100-mx)/m + √(100-mx) +100/m
y可以看成√(100-mx)的二次函数
当√(100-mx)=m/2时y取得最大值
y(max)=m/4+100/m=(m^2+400)/4m
首先4可以整除m^2+400
设m=2n
y(max)=(n^2+100)/2n
那么2又可以整除n^2+100
设n=2k
y(max)=(k^2+25)/k
所以k可以整除25
k=1,5或25
对应的m=4,20或100
√(100-mx)=m/2
0≤√(100-mx)
∵y=x+√(100-mx) (1) (用√表示根号)
∴100-mx≥0
∵m为正整数
∴x≤100/m
将(1)移项得 y-x=√(100-mx)
两边平方并整理关于x的一元二次方程得
x²+(m-2y)x+y²-100=0 (2)
有条件知(2)必有解
全部展开
∵y=x+√(100-mx) (1) (用√表示根号)
∴100-mx≥0
∵m为正整数
∴x≤100/m
将(1)移项得 y-x=√(100-mx)
两边平方并整理关于x的一元二次方程得
x²+(m-2y)x+y²-100=0 (2)
有条件知(2)必有解
∴△=(m-2y)²-4×(y²一100)≥0 (3)
整理(3)成关于m的不等式得
m²-4ym+400≥0 (4)
要使(4)恒成立,只有关于m的方程m²-4ym+400=0有
两个相同的解或无解时才成立,
也即只有△=(-4y)²-4×400≤0 (5)才成立
解(5)得y≤-10或y≥10
当y≤-10时,y有最大值-10
将y=-10代入方程m²-4ym+400=0解之得m=-20
这与已知m为正整数矛盾
所以y最大值不能为-10
当y≥10时,y有最小值10
将y=10代入方程m²-4ym+400=0解之得m=20(m为正整数)
将y=10,m=20代入(2)解之得x=0(x≤100/m=100/20=5)
因此不存在关于x的函数的最大值为整数。
存在关于x的函数的最小值10,此时m为20
如有疑问,请交流!
收起