(线性代数追问)同维同个数向量组A,b等价能否推出其组成矩阵(m*n)列等价?问题是这样的:m维列向量组a1,a2……an,与m维列向量组b1,b2……bn等价,前一组组成矩阵A=(a1,a2……an),后一组组成矩阵B
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 12:52:15
![(线性代数追问)同维同个数向量组A,b等价能否推出其组成矩阵(m*n)列等价?问题是这样的:m维列向量组a1,a2……an,与m维列向量组b1,b2……bn等价,前一组组成矩阵A=(a1,a2……an),后一组组成矩阵B](/uploads/image/z/6738223-31-3.jpg?t=%EF%BC%88%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E8%BF%BD%E9%97%AE%EF%BC%89%E5%90%8C%E7%BB%B4%E5%90%8C%E4%B8%AA%E6%95%B0%E5%90%91%E9%87%8F%E7%BB%84A%2Cb%E7%AD%89%E4%BB%B7%E8%83%BD%E5%90%A6%E6%8E%A8%E5%87%BA%E5%85%B6%E7%BB%84%E6%88%90%E7%9F%A9%E9%98%B5%28m%2An%29%E5%88%97%E7%AD%89%E4%BB%B7%3F%E9%97%AE%E9%A2%98%E6%98%AF%E8%BF%99%E6%A0%B7%E7%9A%84%EF%BC%9Am%E7%BB%B4%E5%88%97%E5%90%91%E9%87%8F%E7%BB%84a1%2Ca2%E2%80%A6%E2%80%A6an%2C%E4%B8%8Em%E7%BB%B4%E5%88%97%E5%90%91%E9%87%8F%E7%BB%84b1%2Cb2%E2%80%A6%E2%80%A6bn%E7%AD%89%E4%BB%B7%2C%E5%89%8D%E4%B8%80%E7%BB%84%E7%BB%84%E6%88%90%E7%9F%A9%E9%98%B5A%3D%28a1%2Ca2%E2%80%A6%E2%80%A6an%29%2C%E5%90%8E%E4%B8%80%E7%BB%84%E7%BB%84%E6%88%90%E7%9F%A9%E9%98%B5B)
(线性代数追问)同维同个数向量组A,b等价能否推出其组成矩阵(m*n)列等价?问题是这样的:m维列向量组a1,a2……an,与m维列向量组b1,b2……bn等价,前一组组成矩阵A=(a1,a2……an),后一组组成矩阵B
(线性代数追问)同维同个数向量组A,b等价能否推出其组成矩阵(m*n)列等价?
问题是这样的:m维列向量组a1,a2……an,与m维列向量组b1,b2……bn等价,前一组组成矩阵A=(a1,a2……an),后一组组成矩阵B=(a1,a2……an),是否能推出矩阵A列等价于矩阵B?
我现在的问题是已知m维列向量组a1,a2……an,与m维列向量组b1,b2……bn等价,也就是ai(i=1,2……n)能用b1,b2……bn线性表示,bj(j=1,2……n)能用a1,a2……an线性表示,想证明:存在可逆矩阵Q,使得(b1,b2……bn)=(a1,a2……an)*Q.注意这里Q只要存在就行,比如@ldydc举例说a1T=(1,0,0),b1T=(3,0,0),b2T=(4,0,0),的确,存在不可逆阵M=(第一行3,4;第二行0,0)使得(b1,b2)=(a1,a2)*M,但同时也存在可以矩阵Q=(第一行1/3,0;第二行0,1/2)使得(b1,b2)=(a1,a2)*Q,成立,因此不能推翻原命题.(原命题即:m维列向量组a1,a2……an,与m维列向量组b1,b2……bn等价,前一组组成矩阵A=(a1,a2……an),后一组组成矩阵B=(a1,a2……an),则矩阵A列等价于矩阵B)
PS:之前感谢@ldydc 对前一问题作出的深入分析,在下受益匪浅.
(线性代数追问)同维同个数向量组A,b等价能否推出其组成矩阵(m*n)列等价?问题是这样的:m维列向量组a1,a2……an,与m维列向量组b1,b2……bn等价,前一组组成矩阵A=(a1,a2……an),后一组组成矩阵B
向量组I与II等价,即可以互相表出,则A,B在同一线性空间内;
可以把I,II都当作线性空间的一组基(前提是I,II自身线性无关,如果自身线性相关可以取极大无关组,思路是一样的)
列向量组I写成矩阵A,组II写成B
则有过渡矩阵T使
B=AT
由T的可逆性
A=BT^(-1)
知
矩阵A与B等价
那个网友指出的矩阵不是过渡矩阵而已