如图,MN是圆O的直径,MN=2,点A在圆O上,角AMN=30°,B为弧AN的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值是
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 06:55:54
![如图,MN是圆O的直径,MN=2,点A在圆O上,角AMN=30°,B为弧AN的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值是](/uploads/image/z/6152792-32-2.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2CMN%E6%98%AF%E5%9C%86O%E7%9A%84%E7%9B%B4%E5%BE%84%2CMN%3D2%2C%E7%82%B9A%E5%9C%A8%E5%9C%86O%E4%B8%8A%2C%E8%A7%92AMN%3D30%C2%B0%2CB%E4%B8%BA%E5%BC%A7AN%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%2CP%E6%98%AF%E7%9B%B4%E5%BE%84MN%E4%B8%8A%E4%B8%80%E5%8A%A8%E7%82%B9%2C%E5%88%99PA%2BPB%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%E6%98%AF)
如图,MN是圆O的直径,MN=2,点A在圆O上,角AMN=30°,B为弧AN的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值是
如图,MN是圆O的直径,MN=2,点A在圆O上,角AMN=30°,
B为弧AN的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值是
如图,MN是圆O的直径,MN=2,点A在圆O上,角AMN=30°,B为弧AN的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值是
如图:做点B关于MN的对称点C,连接AC,其于MN的交点为P,则此时PA+PB最小
证明:在MN上另取一点Q,连接AQ,BQ,CQ
由于B、C关于MN对称,所以BQ=CQ,BP=CP
所以:PA+PB=PA+PC,QA+QB=QA+QC
在△ACQ中,由于两边之和大于第三边,所以:QA+QC > AC=PA+PC
所以,当P为AC与MN的交点时,PA+PB最小
下面求解PA+PB的值
连接AO、CO,由于同弧所对圆心角是圆周角的2倍,所以∠AON=60°,一周为360°,刚好1/6
所以弧AN为1/6圆周,而B是弧AN的中点,所以BN为1/12圆周
B与C关于MN对称,所以弧CN也是1/12圆周
所以弧AC为 1/6 + 1/12 = 1/4圆周,所对的圆周角为 360°/4 = 90°
即:∠AOC=90°
由于OA、OC都是圆的半径,所以OA=OC=MN/2=1
所以在Rt△AOC中,AC²=OA²+OC²=2
所以:AC=√2
即:PA+PB=√2 为其最小值
作点B关于MN的对称点C,连接AC交MN于点P,则此时PB+PA=PB+PC=AC最小
连接OA、OC、OB
则∠CON=∠BON=∠AOB=30°
∴∠AOC=90°
∴AC=√2
故PA+PB的最小值为√2