正四棱锥P-ABCD的各条棱长都是13,M,N分别是PA和BD上的点,且PM:MA=BN:ND=5:8,求证MN//平面PBC.:
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 04:30:55
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正四棱锥P-ABCD的各条棱长都是13,M,N分别是PA和BD上的点,且PM:MA=BN:ND=5:8,求证MN//平面PBC.:
正四棱锥P-ABCD的各条棱长都是13,M,N分别是PA和BD上的点,且PM:MA=BN:ND=5:8,求证MN//平面PBC.:
正四棱锥P-ABCD的各条棱长都是13,M,N分别是PA和BD上的点,且PM:MA=BN:ND=5:8,求证MN//平面PBC.:
证明:过点M作ME//AD,交PD于E.
因为 AD//BC,所以ME//BC,
所以 ME//平面PBC.(1)
因为 ME//AD,所以 PE:ED=PM:MA=5:8,
又因为 PM:MA=BN:ND=5:8,所以 PE:ED=BN:ND=5:8,所以 EN//PB,
所以 EN//平面PBC.(2)
因为ME与EN相交且都属于平面MEN,再由(1)与(2),可知平面MEN//平面PBC,
而MN属于平面MEN,所以 MN//平面PBC.
在平面PAB上作ME//PB,交AB于E,连结NE,
在三角形PAB中,
∵ME//PB,
PM/MA=5/8,
MA/PM=8/5,(反比)
∴AM/PM=AE/BE=8/5,
∵BN/DN=5/8,
DN/BN=8/5,
∴AE/BE=DN/BN=8/5,
在三角形ABD中,
∴NE//AD,
而∵四边形A...
全部展开
在平面PAB上作ME//PB,交AB于E,连结NE,
在三角形PAB中,
∵ME//PB,
PM/MA=5/8,
MA/PM=8/5,(反比)
∴AM/PM=AE/BE=8/5,
∵BN/DN=5/8,
DN/BN=8/5,
∴AE/BE=DN/BN=8/5,
在三角形ABD中,
∴NE//AD,
而∵四边形ABCD是正方形,
∴AD//BC,
∴NE//BC,
∵ME∩NE=E,
PB∩BC=B,
∴平面MEN//平面PBC,
∵MN∈平面MNE,
∴MN//平面PBC。
收起
解答见附图