如图,已知ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,ΔPAD是等腰三角形,M,N分别是AB,PC的中点.求证MN⊥平面PCD.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 22:58:03
如图,已知ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,ΔPAD是等腰三角形,M,N分别是AB,PC的中点.求证MN⊥平面PCD.
如图,已知ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,ΔPAD是等腰三角形,M,N分别是AB,PC的中点.求证MN⊥平面PCD.
如图,已知ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,ΔPAD是等腰三角形,M,N分别是AB,PC的中点.求证MN⊥平面PCD.
设AB=2m、AD=2n.令CD的中点为E.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AM、PA⊥AD,又△PAD是等腰三角形,∴PA=AD=2n.
∵ABCD是矩形,∴BC=AD=2n、BC⊥BM.
∵AM=BM、AB=2m,∴AM=BM=m.
由勾股定理,有:
PM=√(PA^2+AM^2)=√(4n^2+m^2)、 CM=√(BM^2+BC^2)=√(4n^2+m^2).
∴PM=CM,又PN=CN,∴MN⊥PC.
由勾股定理,还有:
AC=√(AB^2+BC^2)=√(4n^2+4m^2)、 PD=√(PA^2+AD^2)=2√2n.
∵PN=CN、CE=DE,∴NE是△CDP的中位线,∴NE=PD/2=√2n.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AC,∴由勾股定理,有:
PC=√(PA^2+AC^2)=√(4n^2+4m^2+4n^2)=2√(2n^2+m^2),
∴NC=√(2n^2+m^2).
∴MN=√(CM^2-NC^2)=√(4n^2+m^2-2n^2-m^2)=√2n.
∵ABCD是矩形,又M、E分别是AB、CD的中点,∴ME=AD=2n.
∴由MN=√2n、NE=√2n、ME=2n,得:MN^2+NE^2=ME^2,
∴由勾股定理的逆定理,有:MN⊥NE.
由MN⊥PC、MN⊥NE、PC∩NE=N,得:MN⊥平面PCE,即:MN⊥平面PCD.