过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q,经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M求证MQ平行于抛物线的对称轴
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 20:21:06
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过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q,经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M求证MQ平行于抛物线的对称轴
过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q,经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M
求证MQ平行于抛物线的对称轴
过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q,经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M求证MQ平行于抛物线的对称轴
抛物线上的点到焦点和准线距离相等.
设抛物线的焦点为C,原点为O,过P点垂直于准线的直线交准线于N,y轴交准线与L,OL=OC
过Q点垂直于准线的直线交准线于M'
则有
PC = PN,QC=QM'
NM/LM = NP/OL = PC/OC = PQ = M'Q = PQ/CQ
NP//LC,
所以QM//LC,LC为抛物的的对称轴
路一:求出M、Q的纵坐标并进行比较,如果相等,则MQ‖x轴,为此,将方程y2=2px,y=k(x- )联立,解出?
P( ),?
Q( )
直线OP的方程为y= ,
即y= .
令x=- ,得M点纵坐标yM= =yQ.得证.?
由此可见,按这一思路去证,运算较为繁琐.?
思路二:利用命题“如果过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和这条抛物线相...
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路一:求出M、Q的纵坐标并进行比较,如果相等,则MQ‖x轴,为此,将方程y2=2px,y=k(x- )联立,解出?
P( ),?
Q( )
直线OP的方程为y= ,
即y= .
令x=- ,得M点纵坐标yM= =yQ.得证.?
由此可见,按这一思路去证,运算较为繁琐.?
思路二:利用命题“如果过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和这条抛物线相交,两个交点的纵坐标为y1、y2,那么y1y2=-p2”来证.?
设P(x1,y1)、Q(x2,y2)、M(x3,y3),并从y2=2px及y=k(x- )中消去x,得到ky2-2py-kp2=0,则有结论y1y2=-p2,即y2= .
又直线OP的方程为y= x,含x=- ,得y3=- .
因为P(x1,y1)在抛物线上,所以2x1= .
从而y3=- =(-py1)• =y2.
这一证法运算量较小.?
思路三:直线MQ的方程为y=y0的充要条件是M(- ,y0),Q( ,y0).?
将直线MO的方程y=- 和直线QF的方程y= (x- )联立,它的解(x,y)就是点P的坐标,消去y0,可得y2=2px,可知直线MQ的方程为y=y0的充要条件是点P在抛物线上,得证.这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维,运算量也较小.
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