如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD⊥平面ABC,且CE=CA=2BD=2a,M为EA的中点(1)求证DM⊥平面ECA(2)求点C到平面ADE的距离
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 04:17:31
![如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD⊥平面ABC,且CE=CA=2BD=2a,M为EA的中点(1)求证DM⊥平面ECA(2)求点C到平面ADE的距离](/uploads/image/z/5203135-55-5.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E2%96%B3ABC%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%2CEC%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2ABC%2CBD%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2ABC%2C%E4%B8%94CE%3DCA%3D2BD%3D2a%2CM%E4%B8%BAEA%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81DM%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2ECA%282%29%E6%B1%82%E7%82%B9C%E5%88%B0%E5%B9%B3%E9%9D%A2ADE%E7%9A%84%E8%B7%9D%E7%A6%BB)
如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD⊥平面ABC,且CE=CA=2BD=2a,M为EA的中点(1)求证DM⊥平面ECA(2)求点C到平面ADE的距离
如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD⊥平面ABC,且CE=CA=2BD=2a,M为EA的中点(1)求证DM⊥平面ECA(2)求点C到平面ADE的距离
如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD⊥平面ABC,且CE=CA=2BD=2a,M为EA的中点(1)求证DM⊥平面ECA(2)求点C到平面ADE的距离
(1)如图.过D作DF⊥EC交EC于F
因EC⊥平面ABC,BD⊥平面ABC
则EC//BD,且EC⊥BC,即BCFD为矩形
于是DF=BC=2a,在RT⊿DFE中易知DE=√5a
又BD⊥平面ABC,则BD⊥AB,在RT⊿DFE中易知DA=√5a
即有DE=DA,而M为AE中点,则DM⊥AE(三线合一)
过M点作MG⊥AC交AC于G,连接BG
显然MG//EC且MG=1/2EC(中位线),进而知BGMD为矩形
所以DM//BG
而G为AC中点,⊿ABC为正三角形,则BG⊥AC
所以DM⊥AC
因AE交AC于平面ECA
所以DM⊥平面ECA
(2)延长ED交CB延长线于H,连接AH
显然平面ADE与平面AHE共面
由中位线性质易知AH//BG且AH=2BG
而BG⊥AC,则AH⊥AC,即⊿AHC为RT⊿
易知S⊿AHC=2√3a^2
显然D为EH中点
则S⊿AHE=2S⊿ADE
易知S⊿ADE=√6a^2
即有S⊿AHE=2√6a^2
令点C到平面ADE的距离为h,则根据E-AHC等体积有
1/3*EC*S⊿AHC=1/3*h*S⊿AHE
所以h=√2a