怎样在张量的基础上理解高斯与黎曼的微分几何,比如说高斯的绝妙定理怎样得来?我看的是《古今数学思想》,感觉这书很不错,最近正看到高斯的曲面几何部分,但还理不清高斯的内蕴几
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 07:32:15
![怎样在张量的基础上理解高斯与黎曼的微分几何,比如说高斯的绝妙定理怎样得来?我看的是《古今数学思想》,感觉这书很不错,最近正看到高斯的曲面几何部分,但还理不清高斯的内蕴几](/uploads/image/z/4937950-46-0.jpg?t=%E6%80%8E%E6%A0%B7%E5%9C%A8%E5%BC%A0%E9%87%8F%E7%9A%84%E5%9F%BA%E7%A1%80%E4%B8%8A%E7%90%86%E8%A7%A3%E9%AB%98%E6%96%AF%E4%B8%8E%E9%BB%8E%E6%9B%BC%E7%9A%84%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%87%A0%E4%BD%95%2C%E6%AF%94%E5%A6%82%E8%AF%B4%E9%AB%98%E6%96%AF%E7%9A%84%E7%BB%9D%E5%A6%99%E5%AE%9A%E7%90%86%E6%80%8E%E6%A0%B7%E5%BE%97%E6%9D%A5%3F%E6%88%91%E7%9C%8B%E7%9A%84%E6%98%AF%E3%80%8A%E5%8F%A4%E4%BB%8A%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%80%9D%E6%83%B3%E3%80%8B%EF%BC%8C%E6%84%9F%E8%A7%89%E8%BF%99%E4%B9%A6%E5%BE%88%E4%B8%8D%E9%94%99%EF%BC%8C%E6%9C%80%E8%BF%91%E6%AD%A3%E7%9C%8B%E5%88%B0%E9%AB%98%E6%96%AF%E7%9A%84%E6%9B%B2%E9%9D%A2%E5%87%A0%E4%BD%95%E9%83%A8%E5%88%86%EF%BC%8C%E4%BD%86%E8%BF%98%E7%90%86%E4%B8%8D%E6%B8%85%E9%AB%98%E6%96%AF%E7%9A%84%E5%86%85%E8%95%B4%E5%87%A0)
怎样在张量的基础上理解高斯与黎曼的微分几何,比如说高斯的绝妙定理怎样得来?我看的是《古今数学思想》,感觉这书很不错,最近正看到高斯的曲面几何部分,但还理不清高斯的内蕴几
怎样在张量的基础上理解高斯与黎曼的微分几何,比如说高斯的绝妙定理怎样得来?
我看的是《古今数学思想》,感觉这书很不错,最近正看到高斯的曲面几何部分,但还理不清高斯的内蕴几何思想与黎曼的思想
怎样在张量的基础上理解高斯与黎曼的微分几何,比如说高斯的绝妙定理怎样得来?我看的是《古今数学思想》,感觉这书很不错,最近正看到高斯的曲面几何部分,但还理不清高斯的内蕴几
问题前半部分太笼统,也不好回答,我来回答你的后半部分吧.一楼的回答不是很好,几何原本就是和坐标无关的,如果一个量和坐标选取有关,那压根就不是几何量.坐标是我们研究问题的工具,几何是我们要研究的问题,不能因为工具的不同而出现不同的研究结果.举例来说,两条直线相交有且仅有一个交点,这是个几何性质,但是你不论在什么坐标系下,这个都是对的.言归正传,内蕴几何其实是只与曲面的第一基本形式有关的几何,曲面有第一第二基本形式,并且这两个基本形式可以唯一确定曲面(当然,它们之间要满足三个方程),内蕴几何则是要研究只有第一基本形式所决定的曲面几何性质.高斯的绝妙定理形象地说来就是“生活在球面上的蚂蚁如果足够理解内蕴几何,它也能知道自己生活的空间是什么样子的,而不需要借助我们外人的提示”,这里它们足够聪明就是指理解内蕴几何,借助我们外人的提示则是指通过第二基本形式.曲面上有一个重要的几何量叫高斯曲率,它的定义是用第一和第二类基本量来定义的,但是高斯通过繁琐的计算,得到这个量其实只和曲面的第一基本量有关,这就是高斯绝妙定理.现在有了张量的计算,这个定理的证明很简单了,最后高斯曲率正好等于R—{1212}除以第一基本量组成的行列式开根号,而这些量都是只和第一基本量有关,这就很简单证明的了高斯绝妙定理.这些你看随便一本微分几何书的“曲面的结构方程”都能找到.这就说明高斯曲率是内蕴量,就这一点,后来被黎曼发展成为“黎曼几何”,也就是研究黎曼流形只与第一基本形式有关的几何.形象地说,内蕴几何是生活在空间的人看自己,而第二基本形式有关的量则是外面的人看这个空间.
至于为什么叫“绝妙定理”,我有个不是很好的解释,当然有时候我也给学生讲讲.原本由第一第二基本量定义的东西后来发现和第二无关,这本身在数学上就是大家关心的问题,这样流形就可以脱离欧式空间的子流形而独立存在.我的解释是这样的:有个孩子后来发现没有爸爸也能生出来,难道大家不会给予足够的关注吗?