a,b,c,d为四个任意给定的整数,证明以下六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 04:07:06
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a,b,c,d为四个任意给定的整数,证明以下六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除
a,b,c,d为四个任意给定的整数,证明以下六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除
a,b,c,d为四个任意给定的整数,证明以下六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除
证明:把这6个差数的乘积记为p,我们必须且只须证明:3与4都可以整除p,以下分两步进行.
第一步,把a,b,c,d按以3为除数的余数来分类,这样的类只有三个0、1、2,故知a,b,c,d中至少有2个除以3的余数相同,例如,不妨设为a,b,这时3可整除b-a,从而3可整除p.
第二步,再把a,b,c,d按以4为除数的余数来分类,这种类至多只有四个0、1、2、3,如果a,b,c,d中有二数除以4的余数相同,那么与第一步类似,我们立即可作出4可整除p的结论.
设a,b,c,d四数除以4的余数不同,由此推知,a,b,c,d之中必有二个奇数(不妨设为a,b),也必有二个偶数(设为c,d),这时b-a为偶数,d-c也是偶数,故4可整除(b-a)(d-c),自然也可得出4可整除p.
因此,b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除.
因为任意整数,被3除,余数是0、1、2,
对于a,b,c,d为四个任意给定的整数,根据抽屉原则,其余数肯定有两个相同,那么这两个数之差就是3的倍数,即六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被3整除。
所以只需证明六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被4整除 即可。
对于a,b,c,d为四个...
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因为任意整数,被3除,余数是0、1、2,
对于a,b,c,d为四个任意给定的整数,根据抽屉原则,其余数肯定有两个相同,那么这两个数之差就是3的倍数,即六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被3整除。
所以只需证明六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被4整除 即可。
对于a,b,c,d为四个任意给定的整数,如果有一个奇数(如d),三个偶数(如a、b、c),那么这三个偶数中,每个差数都能被2除,所以b-a,c-a,c-b的乘积可被4整除,自然六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被4整除;
如果有两个奇数,两个偶数,那么奇数之差是偶数被2整除,偶数之差也是偶数被2整除,所以六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被4整除;
如果有三个奇数(如a、b、c),一个偶数(如d),那么这三个奇数中,每个差数都能被2除,所以b-a,c-a,c-b的乘积可被4整除,自然六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被4整除;
如果有四个奇数,那么这四个奇数中,每个差数都能被2除,所以六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被4整除;
总之,任何情况下六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被4整除。
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