已知正项数列(An)中,对于一切的n属于正整数,均有An的平方小与等于An-A(n+1)成立,探究An与1/n的大小
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 00:10:19
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已知正项数列(An)中,对于一切的n属于正整数,均有An的平方小与等于An-A(n+1)成立,探究An与1/n的大小
已知正项数列(An)中,对于一切的n属于正整数,均有An的平方小与等于An-A(n+1)成立,探究An与1/n的大小
已知正项数列(An)中,对于一切的n属于正整数,均有An的平方小与等于An-A(n+1)成立,探究An与1/n的大小
An^2≤An-A(n+1)
因An-A(n+1)≥An^2>0,所以An单调递减,
(An-1/2)^2≤1/4-A(n+1)
A(n+1)≤1/4
当A(n+1)取最大值1/4时,An=1/2>1/4
所以只有A2取大值1/4时,A1=1/2<1/1
(A2-1/2)^2≤1/4-A3
A3≤3/16<1/4<1/3
A3-1/2≤-5/16
25/256≤(A3-1/2)^2≤1/4-A4
A4≤1/4-25/256=39/256<1/4
A4-1/2≤-89/256,(89/256)^2≤(A4-1/2)^2≤1/4-A5
A5≤1/4-(89/256)^2=8463/65536≈0.13<1/5
不妨设Ak<1/k成立,k≥2,且[Ak-1/2]^2≤1/4-A(k+1)成立
Ak-1/2<1/k-1/2≤0
(Ak-1/2)^2>(1/k-1/2)^2
(1/k-1/2)^2<[Ak-1/2]^2≤1/4-A(k+1)
A(k+1)<1/4-(1/k-1/2)^2
=-(1/k)^2+1/k
=(k-1)/k^2
=(k^2-1)/[k^2(k+1)]
=1/(k+1)-1/[k^2(k+1)]
<1/(k+1)
所以
An<1/n.
设An=1/n,则
An-A(n+1)=1/n-1/(n+1)=1/n(n+1)<1/n^2=An^2,不成立
则An<1/n