高等数学微分中值定理的应用证明方程x^5+x-1=0只有一个根
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 22:31:43
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高等数学微分中值定理的应用
证明方程x^5+x-1=0只有一个根
高等数学微分中值定理的应用证明方程x^5+x-1=0只有一个根
1、有根:
设f(x)=x^5+x-1,则f(x)在[0,1]上连续,f(0)<0,f(1)>0,所以由零点定理,f(x)在(0,1)内有零点ξ,即方程x^5+x-1=0有根ξ
2、根唯一
设方程还有一个根η,η≠ξ,不妨假设η>ξ,则在[ξ,η]上使用罗尔定理,存在ζ∈(ξ,η),使f'(ζ)=0.而f'(x)=5x^4+1>0.矛盾
所以方程只有一根
对f(x)=x^5+x-1求导得
f`(x)=5x^4+1>0,则f(x)在实数域内单调递增
又因为f(x)在正负无穷大的两处分别是正负无穷大,
所以f(x)与x轴只有一个交点,
即方程x^5+x-1=0只有一个根
我用手机答的,不好写,我告诉你思路:对左边求导得出该导数恒大于零,所以左边在实数范围内是单调增加的,再对左边取x趋于正无穷求极限,得左边的极限是正无穷;同理,x趋于负无穷时,左式则趋于负无穷。由零值定理知左式必与x轴有唯一交点,即证....
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我用手机答的,不好写,我告诉你思路:对左边求导得出该导数恒大于零,所以左边在实数范围内是单调增加的,再对左边取x趋于正无穷求极限,得左边的极限是正无穷;同理,x趋于负无穷时,左式则趋于负无穷。由零值定理知左式必与x轴有唯一交点,即证.
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左面求导 大于0 且当x=0时左面小于0 取1的时候大于0 所以有且是有一个跟
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