已知点Ai(i=1,2,……n)为抛物线y^2=x在第一象限内是几个点 Bi,Ci分别为Ai在x轴,y轴上的射影 设点Ai坐标(Xi,Yi) 且点A(i+1)在直线BiCi上(1)求证{yi}是等比数列 (2)Y1=m 矩形AiBiOCi面积为Si 求lim(S1+S2+……+Sn)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 05:46:42
![已知点Ai(i=1,2,……n)为抛物线y^2=x在第一象限内是几个点 Bi,Ci分别为Ai在x轴,y轴上的射影 设点Ai坐标(Xi,Yi) 且点A(i+1)在直线BiCi上(1)求证{yi}是等比数列 (2)Y1=m 矩形AiBiOCi面积为Si 求lim(S1+S2+……+Sn)](/uploads/image/z/400359-39-9.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E7%82%B9Ai%28i%3D1%2C2%2C%E2%80%A6%E2%80%A6n%29%E4%B8%BA%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BFy%5E2%3Dx%E5%9C%A8%E7%AC%AC%E4%B8%80%E8%B1%A1%E9%99%90%E5%86%85%E6%98%AF%E5%87%A0%E4%B8%AA%E7%82%B9+Bi%2CCi%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BAAi%E5%9C%A8x%E8%BD%B4%2Cy%E8%BD%B4%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%B0%84%E5%BD%B1+%E8%AE%BE%E7%82%B9Ai%E5%9D%90%E6%A0%87%28Xi%2CYi%29+%E4%B8%94%E7%82%B9A%28i%2B1%29%E5%9C%A8%E7%9B%B4%E7%BA%BFBiCi%E4%B8%8A%281%29%E6%B1%82%E8%AF%81%7Byi%7D%E6%98%AF%E7%AD%89%E6%AF%94%E6%95%B0%E5%88%97+%282%29Y1%3Dm+%E7%9F%A9%E5%BD%A2AiBiOCi%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E4%B8%BASi+%E6%B1%82lim%28S1%2BS2%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2BSn%29)
已知点Ai(i=1,2,……n)为抛物线y^2=x在第一象限内是几个点 Bi,Ci分别为Ai在x轴,y轴上的射影 设点Ai坐标(Xi,Yi) 且点A(i+1)在直线BiCi上(1)求证{yi}是等比数列 (2)Y1=m 矩形AiBiOCi面积为Si 求lim(S1+S2+……+Sn)
已知点Ai(i=1,2,……n)为抛物线y^2=x在第一象限内是几个点 Bi,Ci分别为Ai在x轴,y轴上的射影 设点Ai坐标(Xi,Yi) 且点A(i+1)在直线BiCi上
(1)求证{yi}是等比数列 (2)Y1=m 矩形AiBiOCi面积为Si 求lim(S1+S2+……+Sn)的值
已知点Ai(i=1,2,……n)为抛物线y^2=x在第一象限内是几个点 Bi,Ci分别为Ai在x轴,y轴上的射影 设点Ai坐标(Xi,Yi) 且点A(i+1)在直线BiCi上(1)求证{yi}是等比数列 (2)Y1=m 矩形AiBiOCi面积为Si 求lim(S1+S2+……+Sn)
(1)
依题意得:Xi=Yi^2 ,X(i+1)=Y(i+1)^2,
由(Xi,Yi)确定的直线方程为:X/Xi+Y/Yi=1
亦知X(i+1)/Xi+Y(i+1)/Yi=1 将Xi=Yi^2 ,X(i+1)=Y(i+1)^2代入得:
Y(i+1)^2/Yi^2+Y(i+1)/Yi=1 即Y(i+1)^2/Yi^2+Y(i+1)/Yi-1=0
对比一元二次方程ax^2+bx+c=0形式知 Y(i+1)/Yi为方程Y(i+1)^2/Yi^2+Y(i+1)/Yi-1=0的根为一常数,即Y(i+1)/Yi=t(t为常数),因而{yi}是等比数列;
(2)
算出上题Y(i+1)/Yi=t为t=(√5-1)/2
Si=Xi*Yi=Yi^3
lim(S1+S2+……+Sn)
=lim(Y1^3+Y2^3+……+Yn^3)
=lim(m^3+(m*t)^3+(m*t^2)^3++……+(m*t^(n-1))^3
=lim(m^3*(1-t^3n)/(1-t^3))
=lim(m^3*(1-((√5-1)/2)^3n)/(1-((√5-1)/2)^3))
=((3+√5)/4)*m^3