证明题:双曲线XY=a方上任意一点处切线与双坐标轴构成三角形面积都等于2a方
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 11:43:10
![证明题:双曲线XY=a方上任意一点处切线与双坐标轴构成三角形面积都等于2a方](/uploads/image/z/3910163-59-3.jpg?t=%E8%AF%81%E6%98%8E%E9%A2%98%EF%BC%9A%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%BA%BFXY%3Da%E6%96%B9%E4%B8%8A%E4%BB%BB%E6%84%8F%E4%B8%80%E7%82%B9%E5%A4%84%E5%88%87%E7%BA%BF%E4%B8%8E%E5%8F%8C%E5%9D%90%E6%A0%87%E8%BD%B4%E6%9E%84%E6%88%90%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E9%83%BD%E7%AD%89%E4%BA%8E2a%E6%96%B9)
证明题:双曲线XY=a方上任意一点处切线与双坐标轴构成三角形面积都等于2a方
证明题:双曲线XY=a方上任意一点处切线与双坐标轴构成三角形面积都等于2a方
证明题:双曲线XY=a方上任意一点处切线与双坐标轴构成三角形面积都等于2a方
明:由XY=a得 Y=a/X
其导数为 Y'=-a^2/X^2
设M(X0,Y0)是双曲线XY=a方上任意一点处切线的切点
∴切线方程为 (Y-Y0)/(X-X0)=-a^2/X0^2
令Y=0 求X轴上的截距X
(0-Y0)/(X-X0)=-a^2/X0^2
X-XO=Y0*X0^2/a^2=X0*Y0*X0/a^2
∵X0*Y0=a^2
∴X=a^2*X0/a^2+X0=2X0
令X=0 求Y轴上的截距Y
(Y-Y0)/(0-X0)=-a^2/X0^2
Y-YO=X0*a/X0^2=a^2/X0
∵X0*Y0=a^2
∴Y0=a^2/X0
∴Y=Y0+a^2/X0=a^2/X0+a^2/X0=2a^2/X0
从而 双曲线XY=a方上任意一点处切线与双坐标轴构成三角形面积=1/2*X*Y=1/2*2X0*2a^2/X0=2a^2
设切线的方程为 X/m+Y/n=1① 则面积S=ImnI/2 把Y=a/X 代入①得 nX+ma/X-mn=0
即 nX^2-mnX+ma=0 ② 因为是切线,所以方程②有两相等实数根,则判别式=0
所以 (mn)^2-4mna=0 所以 mn=4a 即 S=I2aI 证毕。简单明了
有2中方法..
解:
①由XY=a得 Y=a/X
其导数为 Y'=-a^2/X^2
设M(X0,Y0)是双曲线XY=a方上任意一点处切线的切点
∴切线方程为 (Y-Y0)/(X-X0)=-a^2/X0^2
令Y=0 求X轴上的截距X
(0-Y0)/(X-X0)=-a^2/X...
全部展开
有2中方法..
解:
①由XY=a得 Y=a/X
其导数为 Y'=-a^2/X^2
设M(X0,Y0)是双曲线XY=a方上任意一点处切线的切点
∴切线方程为 (Y-Y0)/(X-X0)=-a^2/X0^2
令Y=0 求X轴上的截距X
(0-Y0)/(X-X0)=-a^2/X0^2
X-XO=Y0*X0^2/a^2=X0*Y0*X0/a^2
∵X0*Y0=a^2
∴X=a^2*X0/a^2+X0=2X0
令X=0 求Y轴上的截距Y
(Y-Y0)/(0-X0)=-a^2/X0^2
Y-YO=X0*a/X0^2=a^2/X0
∵X0*Y0=a^2
∴Y0=a^2/X0
∴Y=Y0+a^2/X0=a^2/X0+a^2/X0=2a^2/X0
从而 双曲线XY=a方上任意一点处切线与双坐标轴构成三角形面积=1/2*X*Y=1/2*2X0*2a^2/X0=2a^2
或者
②
设切线的方程为 X/m+Y/n=1① 则面积S=ImnI/2 把Y=a/X 代入①得 nX+ma/X-mn=0
即 nX^2-mnX+ma=0 ② 因为是切线,所以方程②有两相等实数根,则判别式=0
所以 (mn)^2-4mna=0 所以 mn=4a 即 S=I2aI 证毕。
收起