f(x)=ax-lnx,是否存在实数a,使f(x)在区间(0,e]的最小值是3 若存在 求a
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 09:52:29
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f(x)=ax-lnx,是否存在实数a,使f(x)在区间(0,e]的最小值是3 若存在 求a
f(x)=ax-lnx,是否存在实数a,使f(x)在区间(0,e]的最小值是3 若存在 求a
f(x)=ax-lnx,是否存在实数a,使f(x)在区间(0,e]的最小值是3 若存在 求a
设存在满足条件的a.
∵f(x)=ax-lnx,∴f′(x)=a-1/x,f″(x)=1/x^2>0.
∵f(x)在定义域范围内有最小值.
令f′(x)=a-1/x=0,得:1/x=a,∴x=1/a,∴f(x)在x=1/a处有最小值.
∴f(1/a)=1-ln(1/a)=3,∴ln(1/a)=-2,∴lna=2,∴a=e^2.
∴存在满足条件的a,且a=e^2.
f′(x)=a-1/x,令f′(x)=0,x=1/a,
0
所以函数在x=1/a取得最小值。
最小值f(1/a)=a×(1/a)-lna=3, lna=-2,a=e^(-2),
显然有e^(-2)∈(0,e)所以
a=e^(-2)即为所求。
易知f(x)定义域为x>0
当a=0时,f(x)=-lnx,显然f(x)为减函数,区间(0,e]上fmin=f(e)=-1,与题不符
所以a≠0
对f(x)求导得f'(x)=a-1/x
当a<0时,显然f'(x)<0,则f(x)在定义域上为减函数,区间(0,e]上fmin=f(e)=ea-1
令ea-1=3,则a=4/e>0,矛盾
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易知f(x)定义域为x>0
当a=0时,f(x)=-lnx,显然f(x)为减函数,区间(0,e]上fmin=f(e)=-1,与题不符
所以a≠0
对f(x)求导得f'(x)=a-1/x
当a<0时,显然f'(x)<0,则f(x)在定义域上为减函数,区间(0,e]上fmin=f(e)=ea-1
令ea-1=3,则a=4/e>0,矛盾
所以a>0
令f'(x)=a-1/x=0,则x=1/a(极值点)
当a>0时,因0
若1/a>e即0令ea-1=3,则a=4/e>1/e,矛盾
所以0<1/a≤e即a≥1/e
此时fmin=f(1/a)=1+lna
令1+lna=3,则a=e^2
经检验,a=e^2符合
综上,使f(x)在区间(0,e]的最小值是3的a存在,其值为a=e^2
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