已知直线l:x+y=8,点F1(—4,0)、F2(4,0),在l上取一点M,过M以F1、F2为焦点作椭圆.问M在何处时,椭圆的长轴最短,并求出此时椭圆的方程.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 16:57:33
![已知直线l:x+y=8,点F1(—4,0)、F2(4,0),在l上取一点M,过M以F1、F2为焦点作椭圆.问M在何处时,椭圆的长轴最短,并求出此时椭圆的方程.](/uploads/image/z/3813553-1-3.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E7%9B%B4%E7%BA%BFl%EF%BC%9Ax%2By%3D8%2C%E7%82%B9F1%EF%BC%88%E2%80%944%2C0%EF%BC%89%E3%80%81F2%EF%BC%884%2C0%EF%BC%89%2C%E5%9C%A8l%E4%B8%8A%E5%8F%96%E4%B8%80%E7%82%B9M%2C%E8%BF%87M%E4%BB%A5F1%E3%80%81F2%E4%B8%BA%E7%84%A6%E7%82%B9%E4%BD%9C%E6%A4%AD%E5%9C%86.%E9%97%AEM%E5%9C%A8%E4%BD%95%E5%A4%84%E6%97%B6%2C%E6%A4%AD%E5%9C%86%E7%9A%84%E9%95%BF%E8%BD%B4%E6%9C%80%E7%9F%AD%2C%E5%B9%B6%E6%B1%82%E5%87%BA%E6%AD%A4%E6%97%B6%E6%A4%AD%E5%9C%86%E7%9A%84%E6%96%B9%E7%A8%8B.)
已知直线l:x+y=8,点F1(—4,0)、F2(4,0),在l上取一点M,过M以F1、F2为焦点作椭圆.问M在何处时,椭圆的长轴最短,并求出此时椭圆的方程.
已知直线l:x+y=8,点F1(—4,0)、F2(4,0),在l上取一点M,过M以F1、F2为焦点作椭圆.
问M在何处时,椭圆的长轴最短,并求出此时椭圆的方程.
已知直线l:x+y=8,点F1(—4,0)、F2(4,0),在l上取一点M,过M以F1、F2为焦点作椭圆.问M在何处时,椭圆的长轴最短,并求出此时椭圆的方程.
做F2(4,0)关于直线x+y=8的对称点A(m,n),连接F1A,与直线x+y=8的交点即为满足条件的M,
F2A的中点坐标为:(2+m/2,n/2),其在x+y=8上,代入有:
2+m/2+n/2=8,∴m+n=12 ①
又F2A与直线x+y=8垂直,则F2A的斜率k=1,即n/(m-4)=1,∴n=m-4 ②
联立①、②得m=8,n=4,即A(8,4),
∴F1A的直线方程为:x-3y+4=0,联立其与x+y=8,解得x=5,y=3,即M(5,3),
此时椭圆的长轴长2a=|F1A|=4√10
∴a=2√10,
∴a²=40,又c=4,∴b²=a²-c²=40-16=24
∴椭圆方程为:x²/40+y²/24=1
作F2关于直线l:x+y=8的对称点A(8,4),连接A,F1,交直线l与B,则B是椭圆上的点,2a=|AF2|=,c=4,所以,椭圆方程为:x2/40+y2/24=1
这样问题就转化为,在直线L:x+y=8上求点M,使MF1+MF2最小,这个点你应该是求过的吧。
大致的方法是,作F2关于直线L的对称点,设为P,连接PF1,设PF1与直线L的交点是M,这时候,MF1+MF2=MF1+MP=PF1,是线段,为所有长轴中最短的!
下面求出P点坐标为(8,4),用两点间距离公式就可以求得
PF1=12√2,椭圆长轴2a=4√10,a=2√1...
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这样问题就转化为,在直线L:x+y=8上求点M,使MF1+MF2最小,这个点你应该是求过的吧。
大致的方法是,作F2关于直线L的对称点,设为P,连接PF1,设PF1与直线L的交点是M,这时候,MF1+MF2=MF1+MP=PF1,是线段,为所有长轴中最短的!
下面求出P点坐标为(8,4),用两点间距离公式就可以求得
PF1=12√2,椭圆长轴2a=4√10,a=2√10,a^2=40,c=4
b^2=a^2-c^2=40-16=24
即所求的椭圆方程是x^2/40+y^2/24=1
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