若质数p,q满足:q+15能被p整除,p+21能被q整除,则满足条件的质数对(p,q)共有多少对?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 16:38:10
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若质数p,q满足:q+15能被p整除,p+21能被q整除,则满足条件的质数对(p,q)共有多少对?
若质数p,q满足:q+15能被p整除,p+21能被q整除,则满足条件的质数对(p,q)共有多少对?
若质数p,q满足:q+15能被p整除,p+21能被q整除,则满足条件的质数对(p,q)共有多少对?
p,q中有一个为2的情况
q=2,p=17
q=23,p=17
p,q中没有2的话,q+15,p+21均为奇数
q+15=mp
p+21=nq(m,n为奇数)
(q+15)/m+21=nq
q+15+21m=mnq
(mn-1)q=3*(5+7m)
同理
(mn-1)p=3*(7+5n)
因此
1)q=3,p=3(由于p=3或q=3得到的18和24都只有2和3两个质因数,而为2的情况已经考虑过了,因此只可能两个均为3)
2)若p,q均大于3,mn-1为3的倍数,m,n均不为3的倍数且被3除余数相同,
mn-1<5+7m,mn-1<5n+7(事实上利用p,q最小为5还可以放缩的更厉害,不过没必要)
mn-1<1/2(5+7m+5n+7)
(m-7/2)(n-1/2)<49/4=12.25 (*)
由mn-1<7+5n
n=1时,m只需考虑4,7,10
n=2,m=2,5
n=4,m=1,4
n=5,m=2,5
n=7,m=1,4
n=8,m=2,5
n=10,m=1,4
n=11,m=2,5
n=13或以上时,由*,m只能为1或2或4才可能
而m=1,由mn-1<5+7m,n=1,4,7,10
m=2,n=2,5,8
m=4,n=1,4,7没有n>=13的可能,因此只需检验上面17组
经检验只有以下一组
m=2,n=2,q=19,p=17
因此总共4组(如果允许p=q=3的话),(2,23),(17,2) (3,3) (17,19)