用导数的定义求反正切函数的导数,教材上反正切函数的导数是用反函数的方法证明的,没有给出用导数的定义来求解的过程.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 13:24:09
用导数的定义求反正切函数的导数,教材上反正切函数的导数是用反函数的方法证明的,没有给出用导数的定义来求解的过程.
用导数的定义求反正切函数的导数,
教材上反正切函数的导数是用反函数的方法证明的,没有给出用导数的定义来求解的过程.
用导数的定义求反正切函数的导数,教材上反正切函数的导数是用反函数的方法证明的,没有给出用导数的定义来求解的过程.
证明:
设 y = atan(x) ;
y+Δy = atan(x+Δx),则:
atan’(x) = (Δx-->0)lim[atan(x+Δx) – atan(x)]/ Δx = (Δx-->0)limΔy/ Δx
又由反函数关系有:
x = tan(y)
x+Δx = tan(y+Δy) = [tan(y) +tan(Δy)]/[1-tan(y)*tan(Δy)]
= [x +tan(Δy)]/[1-x*tan(Δy)]
==> (x+Δx )*[1-x*tan(Δy)] = x+ tan(Δy)
==> tan(Δy) = Δx/(1+ x²+x*Δx)
显然,当Δx-->0时,Δy-->0
在用夹逼定理证明 x-->0时sin/x的极限时,我们知道
(x-->0)lim(sinx/x) = (x-->0)lim(tanx/x) = 1
因此:
(Δx-->0)lim[(tan(Δy)/Δx)/( Δy/Δx)] = (Δy-->0)lim[(tan(Δy)/Δy) = 1
==> (Δx-->0)lim(Δy/Δx) = (Δx-->0)lim[tan(Δy)/Δx]
= (Δx-->0)lim[1/(1+ x²+x*Δx)]
= 1/(1+ x²)
即:
atan’(x)=1/(1+ x²)