已知函数f(x)=p1nx+(p-1)x2+1.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当P=1时,f(x)≤kx恒成立,求实数k的取值范围;(3)证明:1n(n+1)<1+ 1/ 2 + 1/ 3 +…+ 1/n (n∈N+).
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 12:48:18
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已知函数f(x)=p1nx+(p-1)x2+1.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当P=1时,f(x)≤kx恒成立,求实数k的取值范围;(3)证明:1n(n+1)<1+ 1/ 2 + 1/ 3 +…+ 1/n (n∈N+).
已知函数f(x)=p1nx+(p-1)x2+1.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当P=1时,f(x)≤kx恒成立,求实数k的取值范围;
(3)证明:1n(n+1)<1+ 1/ 2 + 1/ 3 +…+ 1/n
(n∈N+).
已知函数f(x)=p1nx+(p-1)x2+1.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当P=1时,f(x)≤kx恒成立,求实数k的取值范围;(3)证明:1n(n+1)<1+ 1/ 2 + 1/ 3 +…+ 1/n (n∈N+).
此题考点是:利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用.
专题:计算题;证明题;综合题;压轴题;数形结合;分类讨论;转化思想.
分析:(1)利用导数来讨论函数的单调性即可,具体的步骤是:(1)确定 f(x)的定义域; (2)求导数fˊ(x);(3)在函数 的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0;(4)确定 的单调区间.若在函数式中含字母系数,往往要分类讨论.(2)当P=1时,f(x)≤kx恒成立,分离参数等价于k≥(1+lnx)/ x ,利用导数求函数h(x)=(1+lnx)/ x的最大值即可求得实数k的取值范围;(3)由(2)知,当k=1时,有f(x)≤x,当x>1时,f(x)<x,即lnx<x-1,令x=(n+1)/n ,则得In·(n+1)/n < 1/n ,利用导数的运算法则进行化简,然后再相加,即可证得结论.
点评:此题是个难题.本题主要考查导数的概念、利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性证明不等式和利用导数研究函数性质的能力,考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想.
这个不好打,给你说下大体思路吧(其实这种题很普遍的,要注意积累)
第一问,要么用定义,要们用函数
第二问,恒成立,只需求最小值小于等于后面的就行了.当然前面的步骤可以选择分离参变量,或是不分
第三问,方法很多,可以借鉴前面的