已知函数f(x)=kx^2+(3+k)x+3是否存在实数k使得函数f(x)在[-1,4]上的最大值是4
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 18:56:46
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已知函数f(x)=kx^2+(3+k)x+3是否存在实数k使得函数f(x)在[-1,4]上的最大值是4
已知函数f(x)=kx^2+(3+k)x+3是否存在实数k使得函数f(x)在[-1,4]上的最大值是4
已知函数f(x)=kx^2+(3+k)x+3是否存在实数k使得函数f(x)在[-1,4]上的最大值是4
f(x)=kx^2+(3+k)x+3=k[x+(k+3)/(2k)]²+3-(k+3)²/(4k²﹚
f(-1)=0,
f(4)=20k+15
∵3-(k+3)²/(4k²﹚≤3<4
∴f(4)=20k+15=4
∴k=﹣11/20
但此时,f(x)=﹣11/20(x-49/22)²+3-(49/22)²,开口向下,49/22∈[-1,4]
∴函数在x=49/22取得最大值3-(49/22)²<4 ,不合题意
∴不存在实数k使得函数f(x)在[-1,4]上的最大值是4
亲,画个图,可以解决的,这个不难的
分类讨论:1,当k=0时,是f(x)=3x+3,其在[-1,4]上的值域为[0,15],不满足条件;
2,当k>0时,为开口向上且对称轴为负数的二次函数,由于f(0)=3,f(-1)=0,而f(4)=20k+15>4,不满足条件;
3,当k<0时,为开口向下的二次函数,当对称轴为负时,令极值等于4,得k=-9,...
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分类讨论:1,当k=0时,是f(x)=3x+3,其在[-1,4]上的值域为[0,15],不满足条件;
2,当k>0时,为开口向上且对称轴为负数的二次函数,由于f(0)=3,f(-1)=0,而f(4)=20k+15>4,不满足条件;
3,当k<0时,为开口向下的二次函数,当对称轴为负时,令极值等于4,得k=-9,即当x=-1/3时,取得最大值4;当对称轴为正时,又有两种情况,一是令f(4)=4,且对称轴大于4,得k不存在;一种令极值为4,得k=-1,即x=1时取得最大值4。
综上所述,存在k=-9和-1满足条件。
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