向量证明面面垂直现有平面α,β,现在α内有一直线a垂直于直线b(b在β内)且a垂直于平面β,已知α交β与直线L,求证:α垂直于β.现在我知道只要证明出两平面内法向量垂直即可,但是如何证明b
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 10:22:20
![向量证明面面垂直现有平面α,β,现在α内有一直线a垂直于直线b(b在β内)且a垂直于平面β,已知α交β与直线L,求证:α垂直于β.现在我知道只要证明出两平面内法向量垂直即可,但是如何证明b](/uploads/image/z/310561-25-1.jpg?t=%E5%90%91%E9%87%8F%E8%AF%81%E6%98%8E%E9%9D%A2%E9%9D%A2%E5%9E%82%E7%9B%B4%E7%8E%B0%E6%9C%89%E5%B9%B3%E9%9D%A2%CE%B1%2C%CE%B2%2C%E7%8E%B0%E5%9C%A8%CE%B1%E5%86%85%E6%9C%89%E4%B8%80%E7%9B%B4%E7%BA%BFa%E5%9E%82%E7%9B%B4%E4%BA%8E%E7%9B%B4%E7%BA%BFb%EF%BC%88b%E5%9C%A8%CE%B2%E5%86%85%EF%BC%89%E4%B8%94a%E5%9E%82%E7%9B%B4%E4%BA%8E%E5%B9%B3%E9%9D%A2%CE%B2%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5%CE%B1%E4%BA%A4%CE%B2%E4%B8%8E%E7%9B%B4%E7%BA%BFL%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%CE%B1%E5%9E%82%E7%9B%B4%E4%BA%8E%CE%B2.%E7%8E%B0%E5%9C%A8%E6%88%91%E7%9F%A5%E9%81%93%E5%8F%AA%E8%A6%81%E8%AF%81%E6%98%8E%E5%87%BA%E4%B8%A4%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%86%85%E6%B3%95%E5%90%91%E9%87%8F%E5%9E%82%E7%9B%B4%E5%8D%B3%E5%8F%AF%2C%E4%BD%86%E6%98%AF%E5%A6%82%E4%BD%95%E8%AF%81%E6%98%8Eb)
向量证明面面垂直现有平面α,β,现在α内有一直线a垂直于直线b(b在β内)且a垂直于平面β,已知α交β与直线L,求证:α垂直于β.现在我知道只要证明出两平面内法向量垂直即可,但是如何证明b
向量证明面面垂直
现有平面α,β,现在α内有一直线a垂直于直线b(b在β内)且a垂直于平面β,已知α交β与直线L,求证:α垂直于β.
现在我知道只要证明出两平面内法向量垂直即可,但是如何证明b是α平面的法向量?也就是b⊥L怎么证明?(不要用什么二面角.如果用二面角,就不用费这么大功夫直接证垂直算了)
你用的是空间图形的证明方法
我的题中明确表明,要用空间向量证明。
向量证明面面垂直现有平面α,β,现在α内有一直线a垂直于直线b(b在β内)且a垂直于平面β,已知α交β与直线L,求证:α垂直于β.现在我知道只要证明出两平面内法向量垂直即可,但是如何证明b
说明:b⊥L不一定成立.如图,设直线a对应AB,则直线b对应BF或者BE都可以满足条件.而直线L则是对应CD.由此可知b⊥L不一定成立.
证明α垂直于β实际上就是定理“如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直”的证明.
证明:(法向量证明)
∵AB⊥β
∴向量AB即可作为β的法向量,而且AB垂直于β内任意的一条直线
在平面β内过B点作直线BE⊥CD
∵AB垂直于β内任意的一条直线
∴AB⊥BE
∵AB与CD交于B点
∴BE⊥α
∴向量BE即可作为的α法向量
又∵向量AB即可作为β的法向量,且AB⊥BE
∴α⊥β
(二面角证明)
∵AB⊥β
∴AB垂直于β内任意的一条直线
∴AB⊥CD.
在平面β内过B点作直线BE⊥CD,则∠ABE就是二面角α--CD--β的平面角
又∵AB垂直于β内任意的一条直线
∴AB⊥BE
∴二面角α--CD--β是直二面角
∴α⊥β