如图,△ABC内接于⊙O,高AD,BE相交于点H,延长AD交△ABC的外接圆于点G,求证:(1)HD=DG(2)若∠ACB=60°,则CH等于⊙O的半径
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 17:34:19
![如图,△ABC内接于⊙O,高AD,BE相交于点H,延长AD交△ABC的外接圆于点G,求证:(1)HD=DG(2)若∠ACB=60°,则CH等于⊙O的半径](/uploads/image/z/2713752-0-2.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E2%96%B3ABC%E5%86%85%E6%8E%A5%E4%BA%8E%E2%8A%99O%2C%E9%AB%98AD%2CBE%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E7%82%B9H%2C%E5%BB%B6%E9%95%BFAD%E4%BA%A4%E2%96%B3ABC%E7%9A%84%E5%A4%96%E6%8E%A5%E5%9C%86%E4%BA%8E%E7%82%B9G%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%EF%BC%881%EF%BC%89HD%3DDG%EF%BC%882%EF%BC%89%E8%8B%A5%E2%88%A0ACB%3D60%C2%B0%2C%E5%88%99CH%E7%AD%89%E4%BA%8E%E2%8A%99O%E7%9A%84%E5%8D%8A%E5%BE%84)
如图,△ABC内接于⊙O,高AD,BE相交于点H,延长AD交△ABC的外接圆于点G,求证:(1)HD=DG(2)若∠ACB=60°,则CH等于⊙O的半径
如图,△ABC内接于⊙O,高AD,BE相交于点H,延长AD交△ABC的外接圆于点G,
求证:(1)HD=DG
(2)若∠ACB=60°,则CH等于⊙O的半径
如图,△ABC内接于⊙O,高AD,BE相交于点H,延长AD交△ABC的外接圆于点G,求证:(1)HD=DG(2)若∠ACB=60°,则CH等于⊙O的半径
(1)连接BG,根据同一弧所对应的圆周角相等,可推出∠BGA=∠ACB
再看△AHE和△ACD,共用∠DAC,而且∠BEC和∠ADC都是直角
则△AHE∽△ACD,推出∠AHE=∠ACB,根据之前∠BGA=∠ACB的结论
可得∠BGA=∠AHE
∠AHE=∠BHG(对角),则∠BGA=∠BHG
可得BH=BG,△BHG是等腰三角形,则BD既是△BHG的高又是它的中线(可用全等证明)
可得结论HD=DG
(2)过O作ON垂直于BC交BC于N,连接BO
在△BCE中,∠ACB=60°,则CE=1/2BC
因为过圆心垂直于弦的直线平分改弦,则CE=CN
通过上问证得的HD=DG可证△CDH≌△CDG,推出∠DCH=∠DCG
因为∠DCG=∠BAD(同一弧所对应的圆周角),则∠DCH=∠BAD
∠EHC=∠HBC+∠HCB=30°+∠HCD
∠BAC=∠CAD+∠BAD=30°+∠BAD
推出∠EHC=∠BAC
圆心角是所对的圆周角的2倍,则∠BOC=2∠BAC
推出∠COD=∠EHC
则在直角△COD和直角△CHE中,CE=CD,∠COD=∠EHC
推出△COD≌△CHE
推出CO=CH,CO是半径,所以问题可证
⑴连结BG、CG
易得:∠BHG=∠AHE=∠ACD=∠AGB
∴BH=BG
∴点B在HG的垂直平分线上
∵∠BCH+∠ABC=90°,∠BAD+∠ABC=90°
∴∠BCH=∠BAD
∴∠CHD=∠ABC=∠CGH
∴CG=CH
∴点C在HG的垂直平分线上
∴BC垂直平分HG
∴HD=DG
⑵作直径BF,连结...
全部展开
⑴连结BG、CG
易得:∠BHG=∠AHE=∠ACD=∠AGB
∴BH=BG
∴点B在HG的垂直平分线上
∵∠BCH+∠ABC=90°,∠BAD+∠ABC=90°
∴∠BCH=∠BAD
∴∠CHD=∠ABC=∠CGH
∴CG=CH
∴点C在HG的垂直平分线上
∴BC垂直平分HG
∴HD=DG
⑵作直径BF,连结AF、CF
∴∠BAF=∠BCF=90°
∴AF‖CH,AH‖CF
∴四边形AHCF是平行四边形
∴AF=CH
∵∠AFB=∠ACB=60°
∴AF=1/2BF
∴CH=1/2BF
即CH等于⊙O的半径
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