一道关于秩的线性代数证明题,已知矩阵A=C的转置*C,C为m*n矩阵,证明r(A)=r(C).要求用秩的定义(非零子式最高阶数)和分块矩阵证明.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 16:56:14
![一道关于秩的线性代数证明题,已知矩阵A=C的转置*C,C为m*n矩阵,证明r(A)=r(C).要求用秩的定义(非零子式最高阶数)和分块矩阵证明.](/uploads/image/z/2651784-24-4.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E5%85%B3%E4%BA%8E%E7%A7%A9%E7%9A%84%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E8%AF%81%E6%98%8E%E9%A2%98%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E7%9F%A9%E9%98%B5A%3DC%E7%9A%84%E8%BD%AC%E7%BD%AE%2AC%2CC%E4%B8%BAm%2An%E7%9F%A9%E9%98%B5%2C%E8%AF%81%E6%98%8Er%28A%29%3Dr%28C%29.%E8%A6%81%E6%B1%82%E7%94%A8%E7%A7%A9%E7%9A%84%E5%AE%9A%E4%B9%89%EF%BC%88%E9%9D%9E%E9%9B%B6%E5%AD%90%E5%BC%8F%E6%9C%80%E9%AB%98%E9%98%B6%E6%95%B0%EF%BC%89%E5%92%8C%E5%88%86%E5%9D%97%E7%9F%A9%E9%98%B5%E8%AF%81%E6%98%8E.)
一道关于秩的线性代数证明题,已知矩阵A=C的转置*C,C为m*n矩阵,证明r(A)=r(C).要求用秩的定义(非零子式最高阶数)和分块矩阵证明.
一道关于秩的线性代数证明题,
已知矩阵A=C的转置*C,C为m*n矩阵,证明r(A)=r(C).
要求用秩的定义(非零子式最高阶数)和分块矩阵证明.
一道关于秩的线性代数证明题,已知矩阵A=C的转置*C,C为m*n矩阵,证明r(A)=r(C).要求用秩的定义(非零子式最高阶数)和分块矩阵证明.
有不懂的再问我吧
PS:开始证的时候还没注意,后来发现我用了C是实矩阵的条件,但是楼主没给.考虑了一下,觉得这个条件是必要的,因为若C为复矩阵,可以举出反例如下:
C=1 0
i 0
楼主应该可以看出毛病了~
这道题既然是用秩的定义来做,不妨就用构造函数的方法。
证明:要证明r(A)=r(C) 则需证r(C的转置*C)=r(C)
构造C的转置*C*X=0 和CX=0
则只需证明这两个方程组同解即可。
所以,设a是CX=0的解 那么显然a同样是C的转置*C*X=0的解
另一方面 若a是C的转置*C*X=0的...
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这道题既然是用秩的定义来做,不妨就用构造函数的方法。
证明:要证明r(A)=r(C) 则需证r(C的转置*C)=r(C)
构造C的转置*C*X=0 和CX=0
则只需证明这两个方程组同解即可。
所以,设a是CX=0的解 那么显然a同样是C的转置*C*X=0的解
另一方面 若a是C的转置*C*X=0的解,则C的转置*C*a=0,左乘C的转置,得到a的转置*C的转置*C*a=0,即(C*a)的转置*C*a=0,从而C*a=0,a是CX=0的解。
证得两齐次线性方程组同解,所以n-r(C的转置*C)=n-r(C)=n-r(A)
所以
r(A)=r(C).
另:此做法确然无误,足可采信。
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