a,b,c是三角形ABC的三个角A,B,C所对的边.a^2=b(b+c)是A=2B的________条件.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 04:14:56
![a,b,c是三角形ABC的三个角A,B,C所对的边.a^2=b(b+c)是A=2B的________条件.](/uploads/image/z/2505760-16-0.jpg?t=a%2Cb%2Cc%E6%98%AF%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E7%9A%84%E4%B8%89%E4%B8%AA%E8%A7%92A%2CB%2CC%E6%89%80%E5%AF%B9%E7%9A%84%E8%BE%B9.a%5E2%3Db%28b%2Bc%29%E6%98%AFA%3D2B%E7%9A%84________%E6%9D%A1%E4%BB%B6.)
a,b,c是三角形ABC的三个角A,B,C所对的边.a^2=b(b+c)是A=2B的________条件.
a,b,c是三角形ABC的三个角A,B,C所对的边.a^2=b(b+c)是A=2B的________条件.
a,b,c是三角形ABC的三个角A,B,C所对的边.a^2=b(b+c)是A=2B的________条件.
此题为正弦定理的综合应用,要点是角化边或边化角
具体证明过程如下:
1.充分性
因为 A=2B
所以 sinC=sin(A+B)=sin3B
所以(sinB+sinC)/sinA=[1-(sinB)^2+3(cosB)^2)]/2cosB=2cosB
此处用到了正弦三倍角公式:sin3B=-(sinB)^3+3sinB(cosB)^2
因为 sinA/sinB=2sinBcosB/sinB=2cosB=(sinB+sinC)/sinA
所以 a/b=(b+c)/a
所以 a^2=b*(b+c)
2.必要性
因为 a^2=b(b+c),s (sinA)^2=(sinB)^2+sinBsin(A+B)
所以 (sinA+sinB)(sinA-sinB)=sinBsin(A+B)
所以 4sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]*cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]=sinBsin(A+B)
此处用到了和差化积的公式:
sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]
sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]
所以 sin(A+B)sin(A-B)=sinBsin(A+B)
所以 sin(A-B)=sinB
所以 A=2B
证明完毕
希望能够帮到你.