任意给定2008个数,证明:其中必有若干个自然数,和是2008的倍数(单独1个数也看作和).
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 16:17:32
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任意给定2008个数,证明:其中必有若干个自然数,和是2008的倍数(单独1个数也看作和).
任意给定2008个数,证明:其中必有若干个自然数,和是2008的倍数(单独1个数也看作和).
任意给定2008个数,证明:其中必有若干个自然数,和是2008的倍数(单独1个数也看作和).
记这2008个数为a1,a2, ... , a2008
令Sn = a1 + ... + an (n=1, 2, ... , 2008) 即Sn为an的前n项和
这样得到S1, S2, .., S2008共2008个数.
若其中有某个Sk为2008的倍数,则a1+a2+...+ak的和为2008的倍数,证毕.
若其中不存在这样的sk,则S1, S2, .., S2008这2008个数除以2008的余数必为1至2007中的某一个,有2008个数,但余数只有2007种情况,根据抽屉原理,至少有两数余数相同,记为sp和sq并假设p
mod 3的余数有0,1,2;
按5个的余数分类:
当 5个0 时 其中都是3的倍数
当 4个0 1 个1 时 其中有4个是3的倍数
当 。。。。。
因为mod 3的余数有0,1,2; 按5个的余数分类: 当 5个0 时 其中都是3的倍数 当 4个0 1 个1 时 其中有4个是3的倍数
2008=1+2+3+······+2008(mod 3)
2008个数为a1,a2, ... , a2008
令Sn = a1 + ... + an (n=1, 2, ... , 2008) 即Sn为an的前n项和
若其中有某个Sk为2008的倍数,则a1+a2+...+ak的和为2008的倍数,证毕。
若其中不存在这样的sk,则S1, S2, .., S2008这2008个数除以2008的余数必为1至2007中的某一个,有20...
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2008个数为a1,a2, ... , a2008
令Sn = a1 + ... + an (n=1, 2, ... , 2008) 即Sn为an的前n项和
若其中有某个Sk为2008的倍数,则a1+a2+...+ak的和为2008的倍数,证毕。
若其中不存在这样的sk,则S1, S2, .., S2008这2008个数除以2008的余数必为1至2007中的某一个,有2008个数,但余数只有2007种情况,根据抽屉原理,至少有两数余数相同,记为sp和sq并假设p于是sq-sp除以2008余数为0,即为2008的倍数。
于是a(p+1)+a(p+2)+... +aq 这(q-p)个数的和为2008倍数
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