定积分定义中计算的问题,为什么△x趋于零时,它的极限还存在啊?在下面这个图中,当△x趋于零时,f(ξi)*△xi的值就为“0“了,n个这样乘积相加和也为零!怎么还能说它的极限存在呢?搞不懂,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 10:28:56
![定积分定义中计算的问题,为什么△x趋于零时,它的极限还存在啊?在下面这个图中,当△x趋于零时,f(ξi)*△xi的值就为“0“了,n个这样乘积相加和也为零!怎么还能说它的极限存在呢?搞不懂,](/uploads/image/z/2443638-30-8.jpg?t=%E5%AE%9A%E7%A7%AF%E5%88%86%E5%AE%9A%E4%B9%89%E4%B8%AD%E8%AE%A1%E7%AE%97%E7%9A%84%E9%97%AE%E9%A2%98%2C%E4%B8%BA%E4%BB%80%E4%B9%88%E2%96%B3x%E8%B6%8B%E4%BA%8E%E9%9B%B6%E6%97%B6%2C%E5%AE%83%E7%9A%84%E6%9E%81%E9%99%90%E8%BF%98%E5%AD%98%E5%9C%A8%E5%95%8A%3F%E5%9C%A8%E4%B8%8B%E9%9D%A2%E8%BF%99%E4%B8%AA%E5%9B%BE%E4%B8%AD%2C%E5%BD%93%E2%96%B3x%E8%B6%8B%E4%BA%8E%E9%9B%B6%E6%97%B6%2Cf%EF%BC%88%CE%BEi%EF%BC%89%2A%E2%96%B3xi%E7%9A%84%E5%80%BC%E5%B0%B1%E4%B8%BA%E2%80%9C0%E2%80%9C%E4%BA%86%2Cn%E4%B8%AA%E8%BF%99%E6%A0%B7%E4%B9%98%E7%A7%AF%E7%9B%B8%E5%8A%A0%E5%92%8C%E4%B9%9F%E4%B8%BA%E9%9B%B6%21%E6%80%8E%E4%B9%88%E8%BF%98%E8%83%BD%E8%AF%B4%E5%AE%83%E7%9A%84%E6%9E%81%E9%99%90%E5%AD%98%E5%9C%A8%E5%91%A2%3F%E6%90%9E%E4%B8%8D%E6%87%82%2C)
定积分定义中计算的问题,为什么△x趋于零时,它的极限还存在啊?在下面这个图中,当△x趋于零时,f(ξi)*△xi的值就为“0“了,n个这样乘积相加和也为零!怎么还能说它的极限存在呢?搞不懂,
定积分定义中计算的问题,为什么△x趋于零时,它的极限还存在啊?
在下面这个图中,当△x趋于零时,f(ξi)*△xi的值就为“0“了,n个这样乘积相加和也为零!怎么还能说它的极限存在呢?搞不懂,哪位学长解答一下哦!多谢了!
定积分定义中计算的问题,为什么△x趋于零时,它的极限还存在啊?在下面这个图中,当△x趋于零时,f(ξi)*△xi的值就为“0“了,n个这样乘积相加和也为零!怎么还能说它的极限存在呢?搞不懂,
我给你详细解答下吧.
首先,你没有注意到什么情况下△x趋于零?△x趋于零的一个必要条件是n趋于无穷大了,那么你想,无穷多个0加在一起还是0吗?
事实上这个式子就可以表示为0*无穷,这是不定式,非零极限是可能存在的;当然也有可能不存在,就叫做不可积.
其次,再来说你的判断(当△x趋于零时,f(ξi)*△xi的值就为“0“了).这里ξi,也就是每个小区间的数值的取法是可以和n以及如何划分△xi有关的(定积分定义里是说无关,但是那是定积分极限存在的情况,我们这里是讨论一般意义下和式极限是否存在的问题,没有假设f必须是可积的),当△xi趋近于零时,谁知道f(ξi)会怎么变呢?如果我告诉你f(x)具有这样的性质,在每个小区间△xi上,总是存在一个点ci,函数在这点的值
f(ci) = 1/△xi
(当然这个函数不是连续的)那么每次计算极限的时候,我总是取点ξi = ci,这样一来,
当△x趋于零时,f(ξi)*△xi的值就为1了,这个时候和式本身=n,极限是不存在的,这样的函数不可积.
由此可见,一个函数存在定积分其实是一个很强的条件:首先,必须保证任何的划分方法,以及任何的取ξi点方式下,极限都存在,有了这点还不够.其次,还必须保证所有这些极限都相等.有这两个条件,才能说那个唯一的极限叫做函数的定积分.有些不连续的函数虽然能够保证总是有极限,但是极限和划分方法或者取点方法有关,所以还是不可积.
我本科就是学数学的,你们教科书上的定义其实不准确,光是和式极限存在是不够的,还必须保证极限是唯一的,这才叫定积分.
误名
给看两个图,就明白了