一道初二等腰三角形数学题在三角形ABC中,AB=AC,D为AC任意一点,延长BA到E,使AE=AD,连接DE.求证:DE⊥BC
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 00:04:44
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一道初二等腰三角形数学题在三角形ABC中,AB=AC,D为AC任意一点,延长BA到E,使AE=AD,连接DE.求证:DE⊥BC
一道初二等腰三角形数学题
在三角形ABC中,AB=AC,D为AC任意一点,延长BA到E,使AE=AD,连接DE.
求证:DE⊥BC
一道初二等腰三角形数学题在三角形ABC中,AB=AC,D为AC任意一点,延长BA到E,使AE=AD,连接DE.求证:DE⊥BC
过A点做BC的垂线,垂足是F.
角E+EDA=EAD
易知AF平分角BAC,角E=EDA
所以,角EDA=CAF
所以ED平行于AF
……
AB上取一点F,使AF=AD,因为AD=AF,AB=AC,所以根据比例关系,FD平行于BC,在三角形DEF中,中线AD等于EF的一半,所以三角形DEF为直角三角形,而且角EDF为直角,所以ED垂直于FD,再根据平行关系,ED垂直于BC
可以假设D在C上,所以三角形ABE就构成直角三角形 ,所以DE⊥BC
请自己画图验证,我不方便带图,谅解。作AF//BC,交DE于F,角BCA等于角B;角FAC等于角BCA; 角EAF等于B,所以角FAC等于角EAF。然后因为 FA=FA,角FAC等于角EAF,AD=AE, 用边角边定理即可证明三角形FAE全等于三角形EAD。所以FA垂直于ED,问题即得证。
做AF⊥BC
因为AE=AD
所以角E=角EDA=1/2角BAC
因为三角形ABC为等腰三角形,AF⊥BC
所以角BAF=角FAC=1/2角BAC
所以角FACE=角AED
所以AF平行于ED
所以ED⊥BC
证明:
延长AE到F,使AF=AC,连接FC;
因为,AF=AC,AE=AD;所以,DE//FC;
所以,角AFC=角ACF;角BAC=角AFC+角ACF=2角ACF;
又因为,AB=AC,所以 角B=角ACB;
因为,B+BAC+ACB=180;
即,2ACB+2ACF=180;
所以,ACB+ACF=90;即,FC⊥BC;
又因为,DE//FC;
所以,DE⊥BC;
延长DE交BC于 H,过A做BC 的垂线于AG;交BC于G; 因为AB=AC;AG垂直BC 所以:AG平分角BAC; 角BAG=1/2角BAC 因为角BAC是三角形EDA的外角; 角BAC=角AED+角ADE; 角AED=1/2角BAC=角BAG; 所以:AG//EH; AG垂直BC 所以EH垂直BC; 即ED垂直BC;得证; 因为