如何证明不存在两个自然数,它们差与和的乘积是2002
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 03:29:49
如何证明不存在两个自然数,它们差与和的乘积是2002
如何证明不存在两个自然数,它们差与和的乘积是2002
如何证明不存在两个自然数,它们差与和的乘积是2002
设两个自然数分别为a和b,不妨设a>b
则其和与差的乘积为
如果存在(a+b)(a-b)=2002
因为a,b是自然数,a>b,所以a+b和a-b也是自然数
2002除了1和2002外只有两个因数2*1001
所以只有a+b=1001和a-b=2同时成立的时候才有(a+b)(a-b)=2002成立
解这个2元1次方程得a=1003/2,b=999/2
所以没有整数解
因此与题设a,b均为自然数矛盾
所以不存在两个自然数,它们差与和的乘积是2002
假设存在 乘积是2002,应该是 2×1001
它们的差是2 所以两个数同为奇数或偶数 它们的和一定是偶数 1001是奇数,所以 不存在
这样应该是可以的
假设这样的两个数是存在的,即a^2-b^2=2002
则我们有(a+b)(a-b)=2002
则a+b与a-b之中至少有一个是偶数
又因为(a+b)+(a-b)=2a一定是偶数,所以只有其中有一个是偶数,则另一个也是偶数。这样的话,(a+b)(a-b)一定是可以被4整除的,也就是2002可以被4整除,这是不成立的,所以假设不成立,原命题成立。
全部展开
这样应该是可以的
假设这样的两个数是存在的,即a^2-b^2=2002
则我们有(a+b)(a-b)=2002
则a+b与a-b之中至少有一个是偶数
又因为(a+b)+(a-b)=2a一定是偶数,所以只有其中有一个是偶数,则另一个也是偶数。这样的话,(a+b)(a-b)一定是可以被4整除的,也就是2002可以被4整除,这是不成立的,所以假设不成立,原命题成立。
命题得证。
收起
(x+y)*(x-y)=2002=2*7*11*13
如果x,y的奇偶性相同,则 x+y,x-y都是偶数,故其乘积中2的指数应该大于1,但此时2的指数是1
如果x,y的奇偶性不同,则x+y,x-y都是奇数,其积应该是个奇数,但此时是偶数.
故,无自然数解.
设这两个数为a和b,则(a+b)(a-b)=2002
但a+b,a-b奇偶性相同,所以a+b和a-b都是偶数,那么有4整除(a+b)(a-b),所以4整除2002,矛盾。因此这样的自然数a和b不存在。
另:(a+b)(a-b)=1(mod8)或0(mod4)或3(mod4),显然2002都不满足。