x.y.z为实数,且满足x^2-yz-8x+7=0及y^2+z^2+yz-6x+6=0,求三元函数W=xy+yz+zx最小值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 00:53:56
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x.y.z为实数,且满足x^2-yz-8x+7=0及y^2+z^2+yz-6x+6=0,求三元函数W=xy+yz+zx最小值
x.y.z为实数,且满足x^2-yz-8x+7=0及y^2+z^2+yz-6x+6=0,求三元函数W=xy+yz+zx最小值
x.y.z为实数,且满足x^2-yz-8x+7=0及y^2+z^2+yz-6x+6=0,求三元函数W=xy+yz+zx最小值
x^2-yz-8x+7=0……(1),y^2+z^2+yz-6x+6=0……(2);
(1)×3+(2)得到:(y-z)^2=-3x^2+30x-27=-3(x-1)(x-9)>=0
所以:1<=x<=9,
(2)-(1)得到:(y+z)^2=x^2-2x+1=(x-1)^2,所以:y+z=x-1;
W=xy+yz+zx=x(y+z)+yz=2x^2-9x+7=2(x-9/4)^2-25/8,
当x=9/4时,w取最小值-25/8.
根据x^2-yz-8x+7=0及y^2+z^2+yz-6x+6=0,可得:
x^2+y^2+z^2-14x+13=0
即(x-7)^2+y^2+z^2=36
此方程为球面的方程,球心坐标(7,0,0)球半径r=6
故x、y、z的定义域即为球面上各点的坐标取值。
再将xyz分别用极坐标代入:
x=7+6cosθ·cosφ
y=6sinθ·sin...
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根据x^2-yz-8x+7=0及y^2+z^2+yz-6x+6=0,可得:
x^2+y^2+z^2-14x+13=0
即(x-7)^2+y^2+z^2=36
此方程为球面的方程,球心坐标(7,0,0)球半径r=6
故x、y、z的定义域即为球面上各点的坐标取值。
再将xyz分别用极坐标代入:
x=7+6cosθ·cosφ
y=6sinθ·sinφ
z=6cosφ
(θ、φ为极坐标角参数,均∈(0,2))
w=7+6cosθ·cosφ·(6sinθ·sinφ+6cosφ)+6sinθ·sinφ·6cosφ
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