设a,b,c,d都是正数,且x=√(a^2+b^2) ,y=√(c^2+d^2).求证:xy≥√(ac+bd)(ad+bc)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 07:31:12
![设a,b,c,d都是正数,且x=√(a^2+b^2) ,y=√(c^2+d^2).求证:xy≥√(ac+bd)(ad+bc)](/uploads/image/z/14933438-62-8.jpg?t=%E8%AE%BEa%2Cb%2Cc%2Cd%E9%83%BD%E6%98%AF%E6%AD%A3%E6%95%B0%2C%E4%B8%94x%3D%E2%88%9A%28a%5E2%2Bb%5E2%29+%2Cy%3D%E2%88%9A%28c%5E2%2Bd%5E2%29.%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9Axy%E2%89%A5%E2%88%9A%EF%BC%88ac%2Bbd%EF%BC%89%28ad%2Bbc%29)
设a,b,c,d都是正数,且x=√(a^2+b^2) ,y=√(c^2+d^2).求证:xy≥√(ac+bd)(ad+bc)
设a,b,c,d都是正数,且x=√(a^2+b^2) ,y=√(c^2+d^2).求证:xy≥√(ac+bd)(ad+bc)
设a,b,c,d都是正数,且x=√(a^2+b^2) ,y=√(c^2+d^2).求证:xy≥√(ac+bd)(ad+bc)
(a²+b²)(c²+d²)
=a²·c² +b²·d²+a²·d²+b²·c²
=a²·c² +2abcd+b²·d²+a²·d²-2abcd+b²·c²
=(ac+bd)²+(ad-bc)²
≥(ac+bd)²,当且仅当ad=bc时取等号.
同理:
(a²+b²)(c²+d²)
=a²·c² +b²·d²+a²·d²+b²·c²
=a²·d² +2abcd+b²·c²+a²·c²-2abcd+b²·d²
=(ad+bc)²+(ac-bd)²
≥(ad+bc)²,当且仅当ac=bd时取等号.
∴两式相乘,得:
(a²+b²)²(c²+d²)²≥(ac+bd)²(ad+bc)²
即:(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)(ad+bc)
∴√[(a²+b²)(c²+d²)]≥√[(ac+bd)(ad+bc)]
即:xy≥√[(ac+bd)(ad+bc)],当且仅当a=b,c=d时等号成立.
x^2y^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)……1式
(ac+bd)(ad+bc)=a^2cd+abc^2+abd^2+b^2cd=(a^2+b^2)cd+ab(c^2+d^2)……2式
因为 c^2-2cd+d^2大于等于0 所以 c^2+d^2大于等于2cd,同理a^2+b^2大于等于2ab
2式小于等于 1/2(a^2+b^2)(c^2+d^2)+1/2(a^2...
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x^2y^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)……1式
(ac+bd)(ad+bc)=a^2cd+abc^2+abd^2+b^2cd=(a^2+b^2)cd+ab(c^2+d^2)……2式
因为 c^2-2cd+d^2大于等于0 所以 c^2+d^2大于等于2cd,同理a^2+b^2大于等于2ab
2式小于等于 1/2(a^2+b^2)(c^2+d^2)+1/2(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(a^2+b^2)(c^2+d^2) 即1式
两边同时开根号即结论
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