高二数学.高手请进~球过程~~很复杂.已知M是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一点,F1,F2是它的两个焦点,若∠MF1F2=α,∠MF2F1=β,椭圆的离心率为e,求证:e=[sin(α+β)]/(sinα+sinβ)强烈求过程!~谢谢!
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 03:41:18
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高二数学.高手请进~球过程~~很复杂.已知M是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一点,F1,F2是它的两个焦点,若∠MF1F2=α,∠MF2F1=β,椭圆的离心率为e,求证:e=[sin(α+β)]/(sinα+sinβ)强烈求过程!~谢谢!
高二数学.高手请进~球过程~~很复杂.
已知M是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一点,F1,F2是它的两个焦点,若∠MF1F2=α,∠MF2F1=β,椭圆的离心率为e,求证:e=[sin(α+β)]/(sinα+sinβ)
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由椭圆定义,有:|MF|+|MF2|=2a,又|F1F2|=2c,
∴e=c/a=(2c)/(2a)=|F1F2|/(|MF|+|MF2|).······①
在△MF1F2中,由正弦定理,有:
|F1F2|/sin∠F1MF2=|MF1|/sin∠MF2F1=|MF2|/sin∠MF1F2,
∴|F1F2|/sin(180°-α-β)=|MF1|/sinβ=|MF2|/sin∠α,
∴|F1F2|/sin(α+β)=(|MF|+|MF2|)/(sin∠α+sinβ),
∴|F1F2|/(|MF|+|MF2|)=sin(α+β)/(sin∠α+sinβ).······②
①代入②中,得:e=sin(α+β)/(sin∠α+sinβ).