如图,△ADC和△CEB都是等边三角形,ACB三点共线,AC=4,CB=2,点G,M,H,N分别是AD,AB,BE,ED的中点.(1)试判断四边形GMHN的形状,并说明理由.(2)求四边形GMHN的面积
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 12:37:26
![如图,△ADC和△CEB都是等边三角形,ACB三点共线,AC=4,CB=2,点G,M,H,N分别是AD,AB,BE,ED的中点.(1)试判断四边形GMHN的形状,并说明理由.(2)求四边形GMHN的面积](/uploads/image/z/14282949-21-9.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E2%96%B3ADC%E5%92%8C%E2%96%B3CEB%E9%83%BD%E6%98%AF%E7%AD%89%E8%BE%B9%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%2CACB%E4%B8%89%E7%82%B9%E5%85%B1%E7%BA%BF%2CAC%3D4%2CCB%3D2%2C%E7%82%B9G%2CM%2CH%2CN%E5%88%86%E5%88%AB%E6%98%AFAD%2CAB%2CBE%2CED%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9.%EF%BC%881%EF%BC%89%E8%AF%95%E5%88%A4%E6%96%AD%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2GMHN%E7%9A%84%E5%BD%A2%E7%8A%B6%2C%E5%B9%B6%E8%AF%B4%E6%98%8E%E7%90%86%E7%94%B1.%EF%BC%882%EF%BC%89%E6%B1%82%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2GMHN%E7%9A%84%E9%9D%A2%E7%A7%AF)
如图,△ADC和△CEB都是等边三角形,ACB三点共线,AC=4,CB=2,点G,M,H,N分别是AD,AB,BE,ED的中点.(1)试判断四边形GMHN的形状,并说明理由.(2)求四边形GMHN的面积
如图,△ADC和△CEB都是等边三角形,ACB三点共线,AC=4,CB=2,点G,M,H,N分别是AD,AB,BE,ED的中点.(1)试判断四边形GMHN的形状,并说明理由.
(2)求四边形GMHN的面积
如图,△ADC和△CEB都是等边三角形,ACB三点共线,AC=4,CB=2,点G,M,H,N分别是AD,AB,BE,ED的中点.(1)试判断四边形GMHN的形状,并说明理由.(2)求四边形GMHN的面积
(1)
∵△ADC、△CEB都是等边三角形,∴AC=DC、CE=CB、∠ACD=∠BCE=60°.
显然有:∠ACE=∠DCB=60°+∠DCE.
由AC=DC、CE=CB、∠ACE=∠DCB,得:AE=DB.
∵M、H、N、G依次是AB、BE、DE、AD的中点,
∴MH=GN=AE/2、GM=NH=DB/2,又AE=DB,∴MH=GN=GM=NH,
∴四边形GMHN是菱形.
(2)
容易得出:S(△DGN)=(1/4)S(△DAE)、S(△BMH)=(1/4)S(△BAE),
∴S(△DGN)+S(△BMH)=(1/4)S(△DAE)+(1/4)S(△BAE)=(1/4)S(四边形ABED).
同理,有:
S(△AGM)+S(△ENH)=(1/4)S(△ABD)+(1/4)S(△EBD)=(1/4)S(四边形ABED).
∴S(△DGN)+S(△BMH)+S(△AGM)+S(△ENH)=(1/2)S(四边形ABED),
∴S(四边形ABED)-S(四边形GMHN)=(1/2)S(四边形ABED),
∴S(四边形GMHN)=(1/2)S(四边形ABED).
过D、E分别作AB的垂线,垂足分别为P、Q.
容易得出:DP=(√3/2)AC=2√3、EQ=(√3/2)CB=√3、PQ=AB/2=3、AP=2、QB=1.
∴S(四边形ABED)
=S(△DAP)+S(梯形DPQE)+S(△EQB)
=(1/2)AP×DP+(1/2)(DP+EQ)PQ+(1/2)QB×EQ
=(1/2)×2×2√3+(1/2)×(2√3+√3)×3+(1/2)×1×√3
=2√3+(9/2)√3+(1/2)√3
=7√3.
∴S(四边形GMHN)=(7/2)√3.