求曲线y=ln x在区间(2,6)内的一条切线,使得该切线与直线x=2,x=6及曲线 所围成的图形的面积最小.07年10月自考高等数学(一)的试题,请哪位帅哥、小姐帮帮忙,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 16:09:23
![求曲线y=ln x在区间(2,6)内的一条切线,使得该切线与直线x=2,x=6及曲线 所围成的图形的面积最小.07年10月自考高等数学(一)的试题,请哪位帅哥、小姐帮帮忙,](/uploads/image/z/13889341-37-1.jpg?t=%E6%B1%82%E6%9B%B2%E7%BA%BFy%3Dln+x%E5%9C%A8%E5%8C%BA%E9%97%B4%EF%BC%882%2C6%EF%BC%89%E5%86%85%E7%9A%84%E4%B8%80%E6%9D%A1%E5%88%87%E7%BA%BF%2C%E4%BD%BF%E5%BE%97%E8%AF%A5%E5%88%87%E7%BA%BF%E4%B8%8E%E7%9B%B4%E7%BA%BFx%3D2%2Cx%3D6%E5%8F%8A%E6%9B%B2%E7%BA%BF+%E6%89%80%E5%9B%B4%E6%88%90%E7%9A%84%E5%9B%BE%E5%BD%A2%E7%9A%84%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E6%9C%80%E5%B0%8F.07%E5%B9%B410%E6%9C%88%E8%87%AA%E8%80%83%E9%AB%98%E7%AD%89%E6%95%B0%E5%AD%A6%28%E4%B8%80%29%E7%9A%84%E8%AF%95%E9%A2%98%2C%E8%AF%B7%E5%93%AA%E4%BD%8D%E5%B8%85%E5%93%A5%E3%80%81%E5%B0%8F%E5%A7%90%E5%B8%AE%E5%B8%AE%E5%BF%99%2C)
求曲线y=ln x在区间(2,6)内的一条切线,使得该切线与直线x=2,x=6及曲线 所围成的图形的面积最小.07年10月自考高等数学(一)的试题,请哪位帅哥、小姐帮帮忙,
求曲线y=ln x在区间(2,6)内的一条切线,使得该切线与直线x=2,x=6及曲线 所围成的图形的面积最小.
07年10月自考高等数学(一)的试题,请哪位帅哥、小姐帮帮忙,
求曲线y=ln x在区间(2,6)内的一条切线,使得该切线与直线x=2,x=6及曲线 所围成的图形的面积最小.07年10月自考高等数学(一)的试题,请哪位帅哥、小姐帮帮忙,
很简单.由中值定理,易得:所求切线斜率为:k=(ln6-ln2)/(6-2)
然后建立直线系:y=kx+n
y'=(lnx)'=1/x=k
可求得直线过点(X.,LnX.)代入直线系求n即可.
这个题目嘛,是这样的。
画出图形来,发现是一个梯形内镶嵌一个固定面积的图形,所以只需要求出梯形的最小面积就可以了。
先写出切线方程:y=kx+b 设在(x0,y0)处,有:
k=(lnx)'=1/x0 b=lnx0-1
y=(1/x0)*x+lnx0-1
所以在x=2,x=6时有:
y1=2/x0+lnx0-1
y2=6/x0+lnx0-1<...
全部展开
这个题目嘛,是这样的。
画出图形来,发现是一个梯形内镶嵌一个固定面积的图形,所以只需要求出梯形的最小面积就可以了。
先写出切线方程:y=kx+b 设在(x0,y0)处,有:
k=(lnx)'=1/x0 b=lnx0-1
y=(1/x0)*x+lnx0-1
所以在x=2,x=6时有:
y1=2/x0+lnx0-1
y2=6/x0+lnx0-1
所以求出梯形的面积,再求导,求出驻点,得x=4.
剩下的自己解哈~~~
其实呢,还可以通过图形解答,直接看图。用中位线就可以看得到,要中位线最小即可以使面积最小。所以选x0=4
收起
y'=lnx
不妨设切点坐标为(x0,lnx0)
切线方程为y-lnx0=(x-x0)/x0即y=lnx0+x/xo-1
则图形面积为
S=
∫(lnx0+x/xo-1-lnx)dx(从2积到6 )
=4(lnx0-1)+16/x0-(6ln6-2ln2-4)
=4lnx0+16/x0-6ln6+2ln2
S'=4/x0-16/x0^2
=>x0=4时面积最小
此时切线方程为y=ln4+x/4-1