若函数f(x)对一切正实数a,b都满足f(ab)=f(a)+f(b),当x>1时,f(x)>0,(1)判断它的单调性,并用定义证明.(2)若f(2)=1,求满足f(x²-4)-f(x-1)>2的x的范围
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 17:25:55
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若函数f(x)对一切正实数a,b都满足f(ab)=f(a)+f(b),当x>1时,f(x)>0,(1)判断它的单调性,并用定义证明.(2)若f(2)=1,求满足f(x²-4)-f(x-1)>2的x的范围
若函数f(x)对一切正实数a,b都满足f(ab)=f(a)+f(b),当x>1时,f(x)>0,(1)判断它的单调性,并用定义证明.
(2)若f(2)=1,求满足f(x²-4)-f(x-1)>2的x的范围
若函数f(x)对一切正实数a,b都满足f(ab)=f(a)+f(b),当x>1时,f(x)>0,(1)判断它的单调性,并用定义证明.(2)若f(2)=1,求满足f(x²-4)-f(x-1)>2的x的范围
1. f(1)=2f(1),
f(1)=0
f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=0,
f(-1)=0
对任意x,有f(-x)=f(x)+f(1)=f(x),
f(x)为偶函数
对任意x>0,z>1有y=zx>x,
f(y)=f(z)+f(x)
f(y)-f(x)=f(z)<0,在R+上单调减,
综上并且由偶函数性质得
f(x)在R-上单增,在R+上单减.
2.f(x^2-4)>2+f(x-1)=2f(2)+f(x-1)=f(4)+f(x-1) =f(4x-4) [f(2)+f(2)=f(4)]
因为单调性
所以x<0时,x^2-4<4x-4
由图像可得,y=x^2-4在y=4x-4的下方时,0<x<4
又x<0
所以不存在
当x>0时,因为单调性
所以x^2-4>4x-4
此时x<0或x>4
又x>0
所以x>4
f(1)=2f(1),
f(1)=0
f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=0,
f(-1)=0
对任意x,有f(-x)=f(x)+f(1)=f(x),
f(x)为偶函数
对任意x>0,z>1有y=zx>x,
f(y)=f(z)+f(x)
f(y)-f(x)=f(z)<0,在R+上单调减,
综上并且由偶函数性质得
f(x)在R-上单增,在R+上单减。