已知a,b,c为三角形ABC三边的长,b/a+c/b+a/c=3时,三角形ABC为______三角形,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 02:44:31
![已知a,b,c为三角形ABC三边的长,b/a+c/b+a/c=3时,三角形ABC为______三角形,](/uploads/image/z/12686301-45-1.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5a%2Cb%2Cc%E4%B8%BA%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E4%B8%89%E8%BE%B9%E7%9A%84%E9%95%BF%2Cb%2Fa%2Bc%2Fb%2Ba%2Fc%3D3%E6%97%B6%2C%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E4%B8%BA______%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%2C)
已知a,b,c为三角形ABC三边的长,b/a+c/b+a/c=3时,三角形ABC为______三角形,
已知a,b,c为三角形ABC三边的长,b/a+c/b+a/c=3时,三角形ABC为______三角形,
已知a,b,c为三角形ABC三边的长,b/a+c/b+a/c=3时,三角形ABC为______三角形,
等边三角形.
由均值不等式可得
B/A+C/B+A/C>=3倍3次根号下[(B/A)*(C/B)*(A/C)]=3
而等号成立的条件是B/A=C/B=A/C
即A=B=C
而已知B/A+C/B+A/C=3 ,所以A=B=C
由不等式A^2 + B^2 >= 2AB ,B^2 + C^2 >= 2BC ,C^2 + A^2 >= 2AC 三式我们可知道他们成立的前提是当且仅当A=B,B=C,C=A.于是我们可对三式两端分别除以AB,BC,CA得到
A/B + B/A >= 2
B/C + C/B >= 2
C/A + A/C >= 2
于是三式相加,可得到
(A+C)/B + (B+C)/A +(B+A)/C >= 6
由因为 B/A + C/B + A/C = 3 ,代入上式可得
A/B + C/A + B/C >= 3
我们将上式B与C互换得
A/C + B/A + C/B >=3
对照 B/A + C/B + A/C = 3 ,我们可知当且仅当A=B=C的条件下,已知式成立,因此唯有
A=B=C
得证.
通分化简得(cb^2加ac^2加ba^2)/abc,再化则是勾股,故是直角三角形。
答:三角形ABC为等边三角形
理由如下:
b/a+c/b+a/c≥3[(b/a)(c/b)(a/c)]^(1/3)=3.........(*)
而题设中已知:b/a+c/b+a/c=3
所以不等式(*)中的”=”成立
故有:
b/a=c/b=a/c
由合分比公式,有:b/a=c/b=a/c =(b+c+a)/(a+b+c)=1
所以a=b=c
1+1=2没问题了!?~~~~~~