基本不等式问题设a,b,c都是正数 求证:a+(1/b),b+(1/c),c+(1/a)三个数中至少有一个不小于2请用基本不等式[(a+b)/2≥√ab]解答
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 02:27:00
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基本不等式问题设a,b,c都是正数 求证:a+(1/b),b+(1/c),c+(1/a)三个数中至少有一个不小于2请用基本不等式[(a+b)/2≥√ab]解答
基本不等式问题
设a,b,c都是正数
求证:a+(1/b),b+(1/c),c+(1/a)三个数中至少有一个不小于2
请用基本不等式[(a+b)/2≥√ab]解答
基本不等式问题设a,b,c都是正数 求证:a+(1/b),b+(1/c),c+(1/a)三个数中至少有一个不小于2请用基本不等式[(a+b)/2≥√ab]解答
:假设a+(1/b),b+(1/c),c+(1/a)均小于2
即a+1/b
a+(1/b)
=(a+b)/b
>=2√(ab)/b
=2√(a/b)
Similarly
b+(1/c) >=2√(b/c)
c+(1/a) >=2√(c/a)
a,b,c都是正数
=>(a/b), (b/c) , (c/a) 三个数中至少有一个不小于1
=>√(a/b), √(b/c) , √(c/a) 三个数中至少...
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a+(1/b)
=(a+b)/b
>=2√(ab)/b
=2√(a/b)
Similarly
b+(1/c) >=2√(b/c)
c+(1/a) >=2√(c/a)
a,b,c都是正数
=>(a/b), (b/c) , (c/a) 三个数中至少有一个不小于1
=>√(a/b), √(b/c) , √(c/a) 三个数中至少有一个不小于1
=>a+(1/b),b+(1/c),c+(1/a)三个数中至少有一个不小于2
收起
a+(1/b)+b+(1/c)+c+(1/a)=a+(1/a)+b+(1/b)+c+(1/c)≥2+2+2=6
当a,b,c三个正数都小于2时,不等式不成立
所以a,b,c三个数中至少有一个不小于2
反证法: 假设他们全都<2 所以a+(1/b)+b+(1/c)+c+(1/a)<6 ,而根据基本不等式a+(1/a)+b+(1/b)+c+(1/c)大于等于2√a×1/a+````````(就是那一串)=6 与已知矛盾 故假设不成立 所以原命题成立
a+(1/b)
=(a+b)/b
>2√(ab)/b
=2√(a/b)
Similarly
b+(1/c) >2√(b/c)
c+(1/a) >2√(c/a)
a,b,c都是正数
=>(a/b), (b/c) , (c/a) 三个数中至少有一个不小于1
=>√(a/b), √(b/c) , √(c/a) 三个数中至少有一个...
全部展开
a+(1/b)
=(a+b)/b
>2√(ab)/b
=2√(a/b)
Similarly
b+(1/c) >2√(b/c)
c+(1/a) >2√(c/a)
a,b,c都是正数
=>(a/b), (b/c) , (c/a) 三个数中至少有一个不小于1
=>√(a/b), √(b/c) , √(c/a) 三个数中至少有一个不小于1
=>a+(1/b),b+(1/c),c+(1/a)三个数中至少有一个不小于2.
收起
[a+(1/b)]+[b+(1/c)]+[c+(1/a)]
=(a+1/a)+(b+1/b)+(c+1/c)
≥2(√a*1/a+√b*1/b+√c*1/c)
=6
若a+(1/b),b+(1/c),c+(1/a)三个数均小于2,
那么[a+(1/b)]+[b+(1/c)]+[c+(1/a)]<6,与上述结论矛盾,:
所以a+(1/b),b+(1/c),c+(1/a)三个数中至少有一个不小于2