P是等边ΔABC内一动点若P点到等边ΔABC的三条高AD、BE、CF的距离分别为PM、PN、PQ.求证:AM+BN+CQ为定值.P是等边ΔABC内一动点.若P点到等边ΔABC的三条高AD、BE、CF的距离分别为PM、PN、PQ.求证:AM+BN
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 16:03:41
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P是等边ΔABC内一动点若P点到等边ΔABC的三条高AD、BE、CF的距离分别为PM、PN、PQ.求证:AM+BN+CQ为定值.
P是等边ΔABC内一动点.若P点到等边ΔABC的三条高AD、BE、CF的距离分别为PM、PN、PQ.求证:AM+BN+CQ为定值.
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为了避免误解,我先说明我的图上点的位置.
A、B、C为逆时针顺序,BC是底边.H是三条高的交点,P在三角形ECH内,M在DH上.
辅助线:以C为轴,顺时针旋转三角形ABC和它内部的点,旋转60度,A点到达G,B点到达A,P、M、N、Q到达P'、M'、N'、Q',连接QQ’,作出三角形MNQ和四边形NQQ'M'.
证明三角形MNQ是正三角形:注意HMPN四点共圆,HQPN四点共圆,所以HMQPN五点共圆,从而三角形MNQ的所有内角均为60度.
证明NM'=QQ':注意到QN和Q'M'均为QM顺时针旋转60度,所以QN与Q'M'平行,显然QQ'平行于NM',所以QQ'M'N是平行四边形.
在正三角形CQQ'中CQ=QQ'=NM',又GM'=AM,所以AM+BN+CQ=GM'+BN+NM'=GB为定值.