求解一道曲线积分的题∫c (y+sinx)dx + (z^2+cosy)dy +x^3dzc是曲线 r(t)=sint i+ cost j+ sin2t k>,0≤t≤2πc 在曲面z=2xy 上
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 04:42:31
![求解一道曲线积分的题∫c (y+sinx)dx + (z^2+cosy)dy +x^3dzc是曲线 r(t)=sint i+ cost j+ sin2t k>,0≤t≤2πc 在曲面z=2xy 上](/uploads/image/z/11694567-39-7.jpg?t=%E6%B1%82%E8%A7%A3%E4%B8%80%E9%81%93%E6%9B%B2%E7%BA%BF%E7%A7%AF%E5%88%86%E7%9A%84%E9%A2%98%E2%88%ABc+%28y%2Bsinx%29dx+%2B+%28z%5E2%2Bcosy%29dy+%2Bx%5E3dzc%E6%98%AF%E6%9B%B2%E7%BA%BF+r%28t%29%3Dsint+i%2B+cost+j%2B+sin2t+k%3E%2C0%E2%89%A4t%E2%89%A42%CF%80c+%E5%9C%A8%E6%9B%B2%E9%9D%A2z%3D2xy+%E4%B8%8A)
求解一道曲线积分的题∫c (y+sinx)dx + (z^2+cosy)dy +x^3dzc是曲线 r(t)=sint i+ cost j+ sin2t k>,0≤t≤2πc 在曲面z=2xy 上
求解一道曲线积分的题
∫c (y+sinx)dx + (z^2+cosy)dy +x^3dz
c是曲线 r(t)=sint i+ cost j+ sin2t k>,0≤t≤2π
c 在曲面z=2xy 上
求解一道曲线积分的题∫c (y+sinx)dx + (z^2+cosy)dy +x^3dzc是曲线 r(t)=sint i+ cost j+ sin2t k>,0≤t≤2πc 在曲面z=2xy 上
这题直接套公式就可以了.
x=sint,y=cost,z=sin2t,dx=costdt,dy=-sintdt,dz=2cos2tdt;代入得
原积分
=∫(从0到2pi) [(cost+sin(sint))*cost-(sin^2(2t)+cos(cost))*sint+2sin^3t*cos2t]dt
利用周期性,积分区间也可写为从-pi到pi,注意到
sin^2(2t)*sint和sin^3t*cos2t都是奇函数,积分值是0;
sin(sint)*cost的原函数是sin(sint),-cos(cost)*sint的原函数是cos(cost),积分值也都是0;
cos^2t的积分值是pi,故原积分值=pi.
x=sint,y=cost=(1-x^2)^(1/2),z=sin2t=2sintcost=2xy,dx=costdt,dy=-sintdt,dz=2cos2tdt,
∫c (y+sinx)dx =∫c ((1-x^2)^(1/2)+sinx)dx =1/2*arcsinx+1/2*x*(1-x^2)^(1/2)-cosx
=1/2*t+1/2*sint*cost-cos(sint...
全部展开
x=sint,y=cost=(1-x^2)^(1/2),z=sin2t=2sintcost=2xy,dx=costdt,dy=-sintdt,dz=2cos2tdt,
∫c (y+sinx)dx =∫c ((1-x^2)^(1/2)+sinx)dx =1/2*arcsinx+1/2*x*(1-x^2)^(1/2)-cosx
=1/2*t+1/2*sint*cost-cos(sint)( t 从0到2π)= π
∫c (z^2+cosy)dy=∫c (4*y^2*(1-y^2)+cosy)dy=∫c (4*y^2-4y^4+cosy)dy
=4/3* y^3-4/5* y^5+siny=4/3* cost ^3-4/5* cost ^5+sin(cost) ( t 从0到2π)=0
∫c x^3dz=∫c sint ^3*2cos2tdt=∫c sint (1-cos2t)/2*2cos2tdt=∫c sint cos2tdt-∫c sint(cos2t)^2dt
=∫c sint cos2tdt-∫c sint(1-cos4t)/2*dt
=∫c sint cos2tdt-1/2*∫c sintdt+1/2*∫c sintcos4t)dt( t 从0到2π)=0
所以,原积分=π+0+0=π
收起