高中数学竞赛题,已知向量AB=(1+tanx,1-tanx)向量AC=[sin(x-45°),sin(x+45°)],求证BAC是直角.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 04:43:27
![高中数学竞赛题,已知向量AB=(1+tanx,1-tanx)向量AC=[sin(x-45°),sin(x+45°)],求证BAC是直角.](/uploads/image/z/11614760-8-0.jpg?t=%E9%AB%98%E4%B8%AD%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%AB%9E%E8%B5%9B%E9%A2%98%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%90%91%E9%87%8FAB%3D%281%2Btanx%2C1-tanx%29%E5%90%91%E9%87%8FAC%3D%5Bsin%28x-45%C2%B0%29%2Csin%28x%2B45%C2%B0%29%5D%2C%E6%B1%82%E8%AF%81BAC%E6%98%AF%E7%9B%B4%E8%A7%92.)
高中数学竞赛题,已知向量AB=(1+tanx,1-tanx)向量AC=[sin(x-45°),sin(x+45°)],求证BAC是直角.
高中数学竞赛题,已知向量AB=(1+tanx,1-tanx)向量AC=[sin(x-45°),sin(x+45°)],求证BAC是直角.
高中数学竞赛题,已知向量AB=(1+tanx,1-tanx)向量AC=[sin(x-45°),sin(x+45°)],求证BAC是直角.
向量AB*向量AC=(1+tanx)sin(x-45°)+(1-tanx)sin(x+45°)
=sin(x-45°)+tanxsin(x-45°)+sin(x+45°)-tanxsin(x+45°)
=sin(x-45°)+sin(x+45°)+tanx(sin(x-45°)-sin(x+45°))
=2sinxsin45°+tanx(-2cosxsin45°)
=根号2*sinx-根号2*tanx*cosx
=根号2*sinx-根号2*sinx
=0
所以向量AB和AC垂直,所以∠BAC=90°
向量AB与向量AC的点积=(1+tanx)sin(x-45°)+(1-tanx)sin(x+45°)
=[sin(x-45°)+sin(x+45°)]+tanx·[sin(x-45°)-sin(x+45°)](对其使用和差化积公式)
=2sinx·cos(-45°)+tanx·2cosx·sin(-45°)
=(√2)sinx-(√2)sinx
=0
所以向量AB⊥向量AC,所以BAC是直角。
只要证明向量AB*向量AC=0,即可
向量AB*向量AC=(1+tanx)sin(x-45°)+(1-tanx)sin(x+45°)
=(1+sinx/cosx)(√2/2)(sinx-cosx)+(1-sinx/cosx)(√2/2)(sinx+cosx)
=(√2/2)(1/cosx)[(sinx+cosx)(sinx-cosx)+(cosx-sinx)(sinx+cosx)]
=(√2/2)(1/cosx)[(sinx+cosx)*0]
=0
∴AB⊥AC
∴∠BAC是直角