求证:等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 05:40:42
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求证:等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高
求证:等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高
求证:等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高
这是一道常见的几何证明问题,难度不大,但很经典,证明方法也很多.
已知:等腰三角形ABC中,AB=AC,BC上任意点D,DE⊥AB,DF⊥AC,BH⊥AC
求证: DE+DF=BH
证法一:
连接AD
则△ABC的面积=AB*DE/2+AC*DF/2=(DE+DF)*AC/2
而△ABC的面积=BH*AC/2
所以:DE+DF=BH
即:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高
证法二:
作DG⊥BH,垂足为G
因为DG⊥BH,DF⊥AC,BH⊥AC
所以四边形DGHF是矩形
所以GH=DF
因为AB=AC
所以∠EBD=∠C
因为GD//AC
所以∠GDB=∠C
所以∠EBD=∠GDB
又因为BD=BD
所以△BDE≌△DBG(ASA)
所以DE=BG
所以DE+DF=BG+GH=BH
证法三:
提示:
过B作直线DF的垂线,垂足为M
运用全等三角形同样可证
另外运用三角函数也能进行证明
可用面积法。
设腰长为1,等腰三角形底边上任一点到两腰的距离分别为h1、h2
一腰上的高h
等腰三角形面积S=1/2*1*h1+1/2*1*h2=1/2(h1+h2)
等腰三角形面积S=1/2*1*h=1/2*h
h=h1+h2
证毕。
设等腰△ABC,AB=AC=x,
AB或AC上的高=h,
P是底边BC上任意一点,
过P点分别作AB、AC的垂线,
垂足为E、F点,
连接AP,
则△ABC面积=△ABP面积+△ACP面积
=½x×PE+½x×PF=½xh,
∴PE+PF=h。