解高数一微积分证明题麻烦会做的XDJM们给出具体证明步骤,设函数f(x)在[0,1]上连续,且∫01xf(x)dx=∫01f(x)dx,证明存在ξ∈(0,1)使得函数F(x)=∫0x(x-t)f(t)dt满足F'(ξ)=∫0ξf(x)dx=0(注:∫01表示0为下限,1为
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 12:26:38
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解高数一微积分证明题
麻烦会做的XDJM们给出具体证明步骤,
设函数f(x)在[0,1]上连续,且∫01xf(x)dx=∫01f(x)dx,证明存在ξ∈(0,1)使得函数F(x)=∫0x(x-t)f(t)dt满足F'(ξ)=∫0ξf(x)dx=0
(注:∫01表示0为下限,1为上限的定积分;∫0x,∫0ξ类似.)
解高数一微积分证明题麻烦会做的XDJM们给出具体证明步骤,设函数f(x)在[0,1]上连续,且∫01xf(x)dx=∫01f(x)dx,证明存在ξ∈(0,1)使得函数F(x)=∫0x(x-t)f(t)dt满足F'(ξ)=∫0ξf(x)dx=0(注:∫01表示0为下限,1为
∫01xf(x)dx=∫01f(x)dx,所以
∫01(1-x)f(x)dx=0,
又因为F(0)=0.
F(1)=∫01(1-t)f(t)dt=0,
根据Roll定律,存在ξ∈(0,1)使F'(ξ)=0
F(x)=∫0x(x-t)f(t)dt=xF(x)=x∫0xf(t)dt-∫0x(t)f(t)dt,
F'(x)=∫0xf(t)dt+x(∫0xf(t)dt)'-(∫0x(t)f(t)dt)'
=∫0xf(t)dt,
所以F'(ξ)=∫0ξf(x)dx=0
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